【地图投影】墨卡托投影（一）

墨卡托投影

墨卡托投影，又称正轴等角圆柱投影，是一种等角的圆柱形地图投影法。本投影法得名于杰拉杜斯·墨卡托（Gerardus Mercator），法兰提斯出身的地理学家、地图学家。他于1569年发表长202厘米、宽124厘米以此方式绘制的世界地图。在以此投影法绘制的地图上，经纬线于任何位置皆垂直相交，使世界地图可以绘制在一个长方形上。由于可显示任两点间的正确方位，航海用途的海图、航路图大都以此方式绘制。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变，从而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变（即等角）；但墨卡托投影会使面积产生变形，极点的比例甚至达到了无穷大。

 

墨卡托世界地图（1569年）

 

数学计算

下列公式定义适用于墨卡托投影的地图中，从纬线φ和经线λ（其中λ0是地图的中央经线）如何推导为坐标系中的点坐标x和y。

这是古德曼函数的逆推导：

这是古德曼函数:

比例尺与纬度φ的正割成比例，越趋向极地（φ = ±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的y值为正负无穷大。

公式推导

假设地球为正球形。（实际上并非为正球形，而是有扁率的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角纬线。）我们需要将经纬度坐标（λ, φ）转换为笛卡尔坐标(x, y)，求以赤道为基准的切柱面投影（即x = λ），并保持形状不变，故:

从x = λ可知

给出

因此，y是φ的唯一函数，且可得到由积分表

在地图中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.