学习理论-模型选择-1-问题引入

问题引入

偏差与方差的权衡是统计学中最核心的问题，在机器学习中，它们是导致欠拟合和过拟合的原因。
对于线性回归问题，我们到底是该选择简单的线性模型y=θ0+θ1x还是选择诸如y=θ0+θ1x+...+θ5x5这样复杂些的模型呢？我么先看下图

上图我们之前就见到过，最左面的为欠拟合，因为它会有较大的偏差；最右面的为过拟合，它很有可能会过于关注少量样本中的一些比较极端的属性值（噪声），因此测试新样本时将会产生很大的方差。
也就是说，我们不仅要在训练时使得偏差尽可能小，也要保证方差尽可能小，即泛化误差（generalization error）要小。

一般而言，如果模型过于简单，且参数很少时，容易产生大的偏差，但方差会较小；如果模型很复杂，并且参数很多时，容易产生较大的方差，但偏差会较小。

问题描述

下面先给出两个事实（fact）：
1、(The union bound)假设A1,A2,...,AK是k个不同的事件（他们并不一定相互独立），有：P(A1⋃...⋃Ak)≤P(A1)+...+P(Ak)
2、(Hoeffding inequality) 假设Z1,...,Zm是m个满足伯努利分布的独立同分布（ independent and identically distributed (iid) ）随机变量。令ϕ^=1m∑mi=1Zi,γ>0则有：P(|ϕ−ϕ^|>γ)≤2exp(−2γ2m)
注：所谓独立同分布（iid）是指，每个样本相互独立且满足相同的分布模型（比如都满足伯努利分布，或者都满足高斯分布等）。
由2可知，当样本数m越大时，估计值ϕ^越接近实际值ϕ.

为了简化问题，我们只考虑2分类情况，对其他问题模型一样适用。
假设训练样本为S={(x(i),y(i));i=1,...,m},其中每个样本(x(i),y(i))∼D,即每个样本都满足独立同分布。对于假设模型h，我们定义训练误差（也称为经验风险或经验误差）为：

它其实反映了训练时的误分率，因为我们是使用的训练样本集S，因此上式左边也可以用ϵS^(h),它是我们的估计（统计）误差。下面给出实际误差，也叫泛化误差：

如果此时我们是使用的线性回归来分类，那么参数θ应该怎样求呢？我们可以求能够使得误分率最小的θ，因此可得：

我们称之为经验风险最小化( empirical risk minimization (ERM))

事实上，对于一个分类问题，我们有时很难直接确定模型的复杂度，因此我们定义一个模型池H(hypothesis class),它包含了很多个假设模型，H={hθ:hθ(x)=I{θTx≥0},θ∈Rn+1},我们在R中按如下规则选择模型：

h^=argminh∈Hε^(h)

其实就是将经验风险最小化算法应用在模型选择上。

注：在这一篇中用h^之类的表示，代表这是一个估计值或统计值，而对应的h，表示实际值，否则符号会有点乱。