欧拉函数(转)

对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。
欧拉函数性质：
1. euler(1) = 1;
2. 若n是素数p的k次幂，euler(n) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)
3. 若m, n互质，euler(m*n) = euler(n) * euler(m)

欧拉函数递推式：
令p为N的最小质因数，若P^2|N， euler(N) = euler(N/p) * p；否则euler(N) = euler(N/p) * (p-1)

//方法1：直接求解欧拉函数  int euler(int n){ //返回euler(n)        int res=n,a=n;       for(int i=2;i*i<=a;i++){           if(a%i==0){               res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出                while(a%i==0) a/=i;           }       }       if(a>1) res=res/a*(a-1);       return res;  }  //方法2：筛选法打欧拉函数表   #define Max 1000001  int euler[Max];  void Init(){        euler[1]=1;       for(int i=2;i<Max;i++)         euler[i]=i;       for(int i=2;i<Max;i++)          if(euler[i]==i)             for(int j=i;j<Max;j+=i)                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   } //方法3void getPhi() {    for (int i = 1; i < Max; i++) {        minDiv[i] = i;    }    for (int i = 2; i*i < Max; i++){        if (minDiv[i] == i){            for (int j = i*i; j < Max; j += i){                minDiv[j] = i;            }        }    }    phi[1] = 1;    for (int i = 2; i < Max; i++) {        phi[i] = phi[i / minDiv[i]];        if ((i / minDiv[i]) % minDiv[i] == 0){            phi[i] *= minDiv[i];        } else {            phi[i] *= minDiv[i] - 1;        }    }}