出栈次序

    来源：第五届蓝桥杯软件大赛C/C++本科B组决赛第二题

    X星球特别讲究秩序，所有道路都是单行线。一个甲壳虫车队，共16辆车，按照编号先后发车，夹在其它车流中，缓缓前行。

    路边有个死胡同，只能容一辆车通过，是临时的检查站，如图【p1.png】所示。

    X星球太死板，要求每辆路过的车必须进入检查站，也可能不检查就放行，也可能仔细检查。
    如果车辆进入检查站和离开的次序可以任意交错。那么，该车队再次上路后，可能的次序有多少种？
    为了方便起见，假设检查站可容纳任意数量的汽车。
    显然，如果车队只有1辆车，可能次序1种；2辆车可能次序2种；3辆车可能次序5种。
    现在足足有16辆车啊，亲！需要你计算出可能次序的数目。

    这是一个整数，请通过浏览器提交答案，不要填写任何多余的内容（比如说明性文字）。

看到这张图，再联系一下题目，这道题问其实就是16个数进栈,有多少种出栈的可能。

如果大家对catalan数熟悉的话，就能知道这是求catalan数h(n)=C(2n,n)/(n+1) （C(2n,n)表示2n里取n）；很明显如果直接进行模拟的话，时间复杂度太高，一时半会儿出不来结果；

其实每次不外乎两种可能：进栈和出栈。因此我们也可以考虑一下用动态规划解决这个问题。

我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出 

f(1) = 1     //即 1

f(2) = 2     //即 12、21

f(3) = 5     //即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：

 1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

 2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)，     根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；

 3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，

    根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；

 4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即         f(3)；

结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即

 

下面就是按这个思路解决问题的dp算法，复杂度为O(n^2)

public class StackOrder{// n 个等着进栈，栈中有m个static int f(int n, int m) {if (n == 0)return 1;if (m == 0)return f(n - 1, 1);return f(n, m - 1) + f(n - 1, m + 1);}static int f(int n) {return f(n, 0);}public static void main(String[] args) {for (int i = 1; i < 17; i++) {System.out.println(i + ": " + f(i));}}}

答案：35357670