bzoj 1426

又是一道期望题。
刷上瘾了QAQ
写题解写得生无可恋：
设f(i)表示已经有了i个之后期望买多少张。
其中f(n) = 0;
f(i) = i / n * f(i) + (n - i) / n * f(i + 1);
解方程，f(i) = f(i + 1) + n / (n - i );
f(i)可解。
g(i,j)表示用j元想去买第i +１张一直买到第n张的花费。
g(i,j) = i / n * g(i,j + 1) + (n - i) / n * g(i + 1,j + 1) +ｊ;
g(n,j) = 0;
仔细一想应该递推就行？
当i = n - 1时
发现是(无穷级数求和)无穷的……
仔细想想应该是求g(0,1)；
设pr(x,i)为买x次能从i种买到n种的概率，则改变下原来的式子：
以下{x in [0,inf)}
f(i) = \sigma {x * pr(x,i)} ;
g(i,j) = \sigma {[(j) + (j + 1) + (j + 2) + (j + 3) + …… + (j + x - 1)] * pr(x,i)}
= \sigma {[(2 * j + x - 1) * x / 2] * pr(x,i)}
又有：
g(i,j + 1) = \sigma{『 [2 * j + 1 + x ] * x / 2 』* pr (x,i)}
则g(i,j + 1) - g(i,j) = \sigma{x * pr(x,i)};
回到上面的式子……
= > f(i) = \sigma {x * pr(x,i)} ;
= > g(i,j + 1) - g(i,j) = \sigma{x * pr(x,i)} = f(i);
所以我们可以推出g(i,j)的表达式：
g(i,j) = (i / n) * g(i,j + 1) +g(i + 1,j + 1) * (n - i) / n + j；
g(i,j + 1) = g(i,j) + f(i);
代入：
g(i,j) = (i / n) * [g(i,j) + f(i)] + [g(i + 1,j) + f(i + 1)] * (n - i ) / n + j;
解方程：
定义常量c = [g(i + 1,j) + f(i + 1)] * (n - i ) / n + j;
g(i,j) = (i / n) * g(i,j) + (i / n) * f(i) + c;
[(n - i) / n] * g(i,j) = (i / n) * f(i) + c;
g(i,j) = (i / n) * f(i) * [n / (n - i)]+ c * [n / (n - i)];
g(i,j) = [i / (n - i)] * f(i) + {[g(i + 1,j) + f(i + 1)] * (n - i ) / n + j} * [n / (n - i)];
然后我们发现实际上只需要知道j相同的那些值即可。
仔细一想发现其实……
我们就要求g(0,1)，所以倒着计算g(i,1)再计算g(0,1)就可以了。
这里用g[i]表示g(i,1)

/*以下为程序计算部分：read(n)；//读入 nf[n] = g[n] = 0;//初始化For i : n - 1 to 0    f[i] = f[i + 1] + n / (n - i);//计算f[i]的值For i : n - 1 to 0    g[i] =g[i + 1] + f[i + 1]  + (i / (n - i)) * f[i] + n / (n - i);//计算g[i]的值output : g[0]；//输出*/

#include <algorithm>#include <cmath>#include <cstdio>#include <cstring>#define Rep(i,n) for(int i = 1; i <= n ; i ++)#define RepG(i,x) for(int i = head[x] ;~ i ; i = edge[i].next)#define Rep_d(i,n) for(int i = n ; i > 0 ; i --)#define Rep_0(i,n) for(int i = 0 ; i < n ; i ++)#define Rep_d0(i,n) for(int i = n - 1;i >= 0;i --)#define RD(i,x,n) for(int i = x; i <= n ; i ++)#define CLR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define RDD(i,x,n) for(int i = x; i >= n; i --)#define lc ch[0]#define rc ch[1]#define v edge[i].to#define ulfc t[u.lc]#define urtc t[u.rc]using namespace std;const int inf = 1 << 30;typedef long long ll;int read(){    char ch = getchar();    while((ch < '0' || ch > '9') && ch != '-')ch = getchar ();    int x = 0;    bool flag = 0;    if(ch == '-')ch = getchar(),flag = 1;    while(ch >= '0' && ch <= '9')x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0',ch = getchar ();    return flag ? -x : x;}int n,m;const int N = 10005;double f[N],g[N];int main (){    n = read();    Rep_d0(i,n)f[i] = f[i + 1] + 1.0 * n / (n - i);    Rep_d0(i,n)g[i] = g[i + 1] + f[i + 1]  + (1.0 * i / (n - i)) * f[i] + 1.0 * n / (n - i);    printf("%.2f\n",g[0]);    return 0;}

代码如上。