理解字符串核函数

前面讲支持向量机的时候，提到了核函数，通过核函数可以实现特征点的非线性转换，从而实现分类。
字符串核函数也是一种核函数，但它与一般的核函数不同。其他核函数一般定义在欧氏空间上，而字符串核函数是定义在字符串集合上的核函数。字符串核函数被广泛用在文本分类、信息检索等方面。

首先解释下什么是字符串核函数。与一般核函数一样，字符串核函数也需要高维特征空间。特征空间的维度由映射函数决定，例如映射ϕ(x1,x2,x3)，则特征空间维数为三维。字符串核函数的特征空间维数也是由映射函数决定的，但不同的是，特征空间的每一维是用字符串来表示的。例如字母表为｛a,b,c｝长度大于等于3的字符串集合的特征空间有六维，分别是abc、acb、bac、bca、cab、cba。这样就可以将字符串s,t用长度为3的子串向量来“表示”，当然这里的表示不是说字符串能够用这些子串等价地表示，因为字符串核函数k(s,t)定义的是字符串s和t的余弦相似度，它们的子串越多，相似性就越高。

首先给出字符串核函数的映射函数在每一维上的取值表达式：

[ϕn(s)]u=∑uλl(i)

其中，特征空间是由所有长度为n的子串组成的，维数为∑n维，∑是一个有限字符表，如上例长度为3的子串组成的特征空间维数为6，特征空间每一维都对应着一个子串；s表示长度大于等于n的字符串；0<λ≤1是一个衰减参数，l(i)表示子串u在字符串s中的长度，i是子串的下标序列，例如：
给定字符串s=“sectionalization”，子串subU1=”set”,subU2=”tion”，则subU1下标序列i=(1,2,4)，长度l(i)为4；subU2的下标序列i=(4,5,6,7)，长度l(i)为4。

举个例子来说明，如下：

表示的是在字母表∑={f,o,g,b}中长度为2的子串（部分子串两个字符串均没有，故不列出）组成的特征空间，由上面给出的映射函数每一维取值公式可知，

ϕ(fog)=(λ2,λ3,λ2,0,0)

ϕ(fob)=(λ2,0,0,λ3,λ2)

λ的指数表示子串在字符串中的长度，系数表示出现次数，如2λ3表示出现了两次长度为3的子串u。根据核函数的定义k(fog,fob)=<ϕ(fog),ϕ(fob)>=2λ4+λ6

因为字符串核函数kn(s,t)定义的是字符串s和t中长度等于n的所有子串组成的特征向量的余弦相似度，所以字符串核函数以前面的核函数定义不同，为映射函数的内积再除以每个串对应的向量范数，如上例最后一个等式k(fog,fob)所示。