2019

 题目编号：2019

Problem Description

在N*N的方格棋盘放置了N个皇后，使得它们不相互攻击（即任意2个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成45角的斜线上。<br>你的任务是，对于给定的N，求出有多少种合法的放置方法。<br><br>

 

Input

共有若干行，每行一个正整数N≤10，表示棋盘和皇后的数量；如果N=0，表示结束。

 

Output

共有若干行，每行一个正整数，表示对应输入行的皇后的不同放置数量。

 

Sample Input

1<br>8<br>5<br>0<br><br>

 

Sample Output

1<br>92<br>10<br><br>

 

Author

cgf

 

Source

2008 HZNU Programming Contest

 

这题我做了比较久，但是一直没有AC，在网上找了一种思路，如下：

按照深度优先的策略，从根结点出发搜索，算法搜索至任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点及以下的节点。
        回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
        运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：
     （1）针对所给问题，定义问题的解空间；
     （2）确定易于搜索的解空间结构；
     （3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
        一般回溯法可用递归来实现，下面是从网上找来的一个非常典型的递归程序结构。
procedure try(i:integer);
var
begin
     if i>n then 输出结果
     else   for j:=下界 to 上界 do
          begin
           x[i]:=h[j];
           if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;
        end;
end;
      说明：
      i是递归深度； 
      n是深度控制，即解空间树的的高度；
      可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层，直到最后的叶子输出结果。
        回到N皇后问题的解决来，看看如何用回溯法解。首先找出解空间：给棋盘的行和列都编上1到N的号码，皇后也给编上1到N的号码。由于一个皇后应在不同的行上，为不失一般性，可以假定第i个皇后将放在第i行上的某列。因此N皇后问题的解空间可以用一个N元组（X1，X2，.....Xn）来表示，其中Xi是放置皇后i所在的列号。这意味着所有的解都是N元组（1，2，3，.......，N）的置换。解空间大小为N！。其次我们看约束条件：因为解空间已经给我们排除了不在同一行（因为每个皇后分别已经对应不同的行号）的约束条件。我们要判断的是不在同一列和不在同一斜线的约束。因为Xi表示皇后所在的列号，所以如果存在X（k）=X（i）那么肯定存在第k个皇后和第i个皇后同列。所以不同列的判段条件是X（k）！=X（i），1<k<i 。又因为同一斜线的特征是要么行号和列号之和不变（右高左低）要么是行号和列号只差相等（左高右低），所以同斜线的判断条件是 i+X（i）=  k+X（k) 或 i-X(i) =k-X(k),两式合并得 |X(i)-X(k)|=|i-k|  。
        编程基本思路：X(j)表示一个解的空间，j表示行数，里面的值表示可以放置在的列数，抽象约束条件得到能放置一个皇后的约束条件(1)X(i)!=X(k);(2)abs(X(i)-X(k))!=abs(i-k)。应用回溯法，当可以放置皇后时就继续到下一行，不行的话就返回到第一行，重新检验要放的列数，如此反复，直到将所有解解出。 
 AC代码：#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int x[11],N,sum;
bool place(int k){ //判断第K个皇后是否可以加入 
     for(int i=1;i<k;i++){
             if(x[i]==x[k] || abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))
                return false;
     }
     return true ;
}
void backtrack(int k){ //k的初值为1 
     if(k>N)   //安排完N个皇后后sum++ 
        sum++;
     else{
          for(int i=1;i<=N;i++){  //找第K个皇后的列坐标 
                  x[k]=i;  
                  if(place(k)){
                     backtrack(k+1);
                  } 
          }
     }   
}
int main(){
    int ans[11];
    for(N=1;N<=10;N++){
        sum=0;
        backtrack(1);
        ans[N]=sum;
    }
    while(scanf("%d",&N)!=EOF && N){
         printf("%d\n",ans[N]);
    }
    return 0;
}