[算法导论笔记]建立二叉堆

二叉堆是基于数组的数据结构，由在数组上定义的left() right() parent()操作，以及heapsize属性，可以把它视为二叉树。

如图，根节点有两个叶子结点，分别对应的数组下标为1和2，通过left()和right()操作实现（下标位移再加偏移），而叶子结点的父节点通过parent()操作实现。由于此时的heapsize是3，因此数组中下标为3的第四个元素并没有加入堆中。

二叉堆分为最大堆和最小堆，最大堆的定义是，除了根节点以外的点 i 都要满足：A[parent(i)]>= A[i]，换句话说，根节点必须大于等于子节点，如果最大堆完成。整个二叉堆就会呈现出每一层元素比下一层的元素要大，最大的元素就是根节点。因此，如果能建立出二叉堆，我们就能很快地获得其中的最大元素。而最小堆定义相反，不再赘述。
为了建立二叉堆，我们需要先有一个维护二叉堆性质的操作 heaplify()，它的作用对象是某个节点，对其进行检查，是否符合堆性质，如果符合就返回，不符合就修改（如最大堆，就是在子节点中找到最大的元素与父节点进行交换），再对进行修改过的子节点递归此操作。为了提高效率，我将尾递归改为了迭代。

    inline int prior(int l,int i,int r){        //依据性质找出最为优先的        if (l>=heap_size || r >= heap_size)return i;        if (compare(l, i))i = l;        if (compare(r, i))i = r;        return i;    }    void heapify(int indx){        //堆维护        while (indx < heap_size / 2){            //只需对根节点维护            int temp = prior(left(indx), indx, right(indx));            if (temp == indx)break;            else swap(data[indx], data[temp]);            indx = temp;        }    }

假设最好情况，heaplify只需要常数时间（indx结点无需维护），而考虑最坏情况，indx每次都要移动直至叶子结点。因此时间复杂度为O(n)，n为初始indx的结点规模。
严谨的方法则是使用递归式对运行时间进行刻画：

我们只需要保证数组中每个元素都满足堆性质，就可以建成一个二叉堆。虽然有了维护堆的方法，但我们不必对每个元素都进行维护。理由是叶节点无需维护，只有根节点才需要。
所以从每个叶节点开始，递归对其父节点执行堆维护heaplify()操作，直到根节点。一共进行n/2次heaplify()操作，因为堆维护的复杂度为O(lgn)，所以一个不是渐进紧确的复杂度估计是O(nlogn)。

    void build(){        //建堆        heap_size = data.size();        for (int i = heap_size / 2 - 1; i >= 0; i--)            heapify(i);    }

但是这里存在一个问题，堆维护的复杂度与树高有关系，而建堆过程中，高度是逐层上升，而每层需要维护的结点数也是越来越少的。对于高度为h的结点，堆维护只需要O(h)时间。

因此一共用时：
∑hi=0ni∗O(i)
其中ni为高度为 i 的堆包含的结点数，可以求出：
ni≥n/2i+1
代入得：
∑hi=0n/2i+1∗O(i)=∑hi=0O(n∗i/2i)
由级数的知识对i求极限可得时间复杂度上界为O(n)

详细的证明过程可见原书，这里只指出大概的思想以及两个小细节（在原书是证明题）：结点数为n的堆高度为最多是lgn，高度为h的堆结点数最多是n/2h+1
第一个：如果是满二叉树，结点一共n=2h个，因此堆高最多lgn；如果不是满二叉树，结点数n<2h，高度为lgn向下取整。
第二个：如果是满二叉树，从底层往上每一层元素为2lgn−h，h为该层高度，所以高度为h的堆包含结点数为：∑hi=02lgn−i=∑hi=0n(1/2)i,等比数列求和得出结果为：n/2h+1.如果不是满二叉树方法同上，结果是n/2h+1向上取整。