0-1背包问题

1.问题描述

有n个物品，第i个物品的体积和价值分别为w[i]、v[i](1<= i <=n)，现有一个容量为c的背包，将这些物品选择装入该背包，如何选择使得包里的物品价值总和最大。

2.问题分析

定义函数f[i][w]表示从前i件物品中选择放入容量为w的背包能装下的物品最大价值，我们所要求的就是f[n][c]。以n为例，有两种情况:

a. 如果w[n]>c，那么n就不能选中，即f[n][c] = f[n-1][c]

b. 如果w[n] <= c, 那么n有可能选中也可能没有选中，依据就是判断选中和不选中的结果哪个大酒根据那一个，即比较f[n-1][c-w[n]]+v[n]和f[n-1][c]

3.编写代码

在解决该问题时因为每一个f都依赖上一个结果，所以需要从最小的f开始向上计算，得到结果，易得f[0][i] f[i][0]都是0，我们需要从0开始计算出所有f[][]

//i表示从前i项选择，j表示容量for (int i = 1; i <= n; i++) {        for (int j = 1; j <= c; j++) {            if (w[i] > j) {                f[i][j] = f[i - 1][j];            } else {                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);            }        }    }

完整代码如下

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;int knapsack(int n, int c, int v[], int w[]) {    int f[1001][1001] = {0};        for (int i = 1; i <= n; i++) {        for (int j = 1; j <= c; j++) {            if (w[i] > j) {                f[i][j] = f[i - 1][j];            } else {                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);            }        }    }    return f[n][c];}int main () {        int n, v[1001];    int c, w[1001];        while (cin >> n >> c) {        for (int i = 1; i <= n; i++) {            cin >> w[i] >> v[i];        }                cout << knapsack(n, c, v, w) << endl;    }        return 0;}

如果想得到选择的具体情况可以通过f[i][c]-f[i-1][c]的值判断,如果f[i][c]>f[i-1][c],那么就是选取了第i个，接下来就要判断f[i - 1][c - w[i]] 和f[i - 2][c - w[i]]，注意i从大到小判断，遇到被选中的，加下来的判断就要减去这个重量

int w = totalWeight;

for (int i = n; i != 0; i--) {       if (f[i][w] > f[i - 1][w]) {            cout << i << " ";

    w -= w[i];

        }    }