数论学习笔记

唉我数论太差了， 一直都是学的多，记住的少，真的用到的时候各种都不会。

作此笔记，希望有所提高！

积性函数：

对于积性函数：要掌握欧拉函数和莫比乌斯函数

如何f=gh，g，h是积性函数，f也是积性函数。

一般积性函数f(ab)=f(a)f(b),a和b互质

欧拉函数：

1. sigma（euler（d））=n （d|n）

2. n>1时，1到n中与n互质的整数和为n*euler(n)/2

莫比乌斯函数：

推荐巨巨博客：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8542292

巨巨论文：http://wenku.baidu.com/view/542961fdba0d4a7302763ad5.html

莫比乌斯反演 ：公式不列了，这个图片一直显示不出来啊

重要性质： sigma(u(d)) =[n=1]  (d|n)

                   u(d)=1, d=1;

                   u(d)=(-1)^k, d=p1*p2*p3*...*pk

                   u(d)=0,else

例题1： 求sigma（gcd（i，j）），1<=i<=n, 1<=j<=m;

ps. 虽然这会看懂了，但是一直会忘记，这里主要用到了n=sigma(euler(d)) (d|n) 这个式子化简，把gcd(i,j)看成n

例题2： 求gcd（i，j）=1的个数，1<=i<=n,1<=j<=n

ps.这题用到的化简结论是[n=1] = sigma(u(d))  (d|n) ，同理上题

结论总结：一定要牢记莫比乌斯函数和欧拉函数的两个等式： sigma(euler(d)) = n (d|n)  and  sigma(u(d)) = [n=1] (d|n)

来点题目把

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=105406#problem/B （莫比乌斯反演求解gcd（i，j）=d的模板题）

题目很基础，就是先线性筛处理莫比乌斯函数，然后求u的前缀和，然后把d提出来，就变成求gcd（i，j）=1的个数了，通过上面的化简就是求sigma(u(d)*(n/d)*(m/d))，然后就是用O（sqrt（n））的复杂度枚举d就行了，这个枚举可以做成模板

int bb=min(b,d);for(int i=1;i<=bb;){     int x=b/(b/i);     int y=d/(d/i);     int z=min(x,y);     //cout<<z<<endl;     ans+=(LL)(sum[z]-sum[i-1])*(b/i)*(d/i);     i=z+1;}

这是枚举gcd(i,j)=1的个数ans，1<=i<=n,1<=j<=m，如果题目要求（1，2）和（2，1）算同一种的话，还需要求出1<=i<=min(n,m),1<=j<=min(n,m)之间的满足条件的个数ret，

然后ans-=ret/2就是不重复的对数了

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15907415/

再来一个bc碰到的题

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5663 （反演求gcd(i,j)=完全平方数的个数）

这题如果直接枚举完全平方数，复杂度就退化到O（Tn）了，由于T很大，就T了

所以需要一些计算化简。

那么我们设函数$F\left(x\right)$，当且仅当$x$为完全平方数时函数值为1，否则函数值为0。那么

Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mF\left(\gcd\left(i,j\right)\right)Ans=∑​i=1​n​​∑​j=1​m​​F(gcd(i,j)) 设$d=\gcd \left(i,j\right)$，那么

Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mF\left(d\right)Ans=∑​i=1​n​​∑​j=1​m​​F(d)。 然后我们推一下这个式子：

Ans=\sum_{d=1}^nF\left(d\right)\times\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\left[\gcd\left(i,j\right)=1\right]Ans=∑​d=1​n​​F(d)×∑​i=1​⌊​d​​n​​⌋​​∑​j=1​⌊​d​​m​​⌋​​[gcd(i,j)=1]

=\sum_{d=1}^nF\left(d\right)\times\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{t|i,t|j}\mu\left(t\right) =\sum_{d=1}^nF\left(d\right)\times\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu\left(t\right)\times\lfloor\frac{n}{dt}\rfloor\times\lfloor\frac{m}{dt}\rfloor=∑​d=1​n​​F(d)×∑​i=1​⌊​d​​n​​⌋​​∑​j=1​⌊​d​​m​​⌋​​∑​t∣i,t∣j​​μ(t)=∑​d=1​n​​F(d)×∑​i=1​⌊​d​​n​​⌋​​μ(t)×⌊​dt​​n​​⌋×⌊​dt​​m​​⌋ 然后我们设$G=dt$，则Ans=\sum_{G=1}^n\left(t\right)\times\lfloor\frac{n}{G}\rfloor\times\lfloor\frac{m}{G}\rfloor\times\sum_{t|G}\mu\left(t\right)\times F\left(\frac{G}{t}\right)Ans=∑​G=1​n​​(t)×⌊​G​​n​​⌋×⌊​G​​m​​⌋×∑​t∣G​​μ(t)×F(​t​​G​​) 然后我们设g(x)=\sum_{t|x}\mu\left(t\right)\times F\left(\frac{x}{t}\right)g(x)=∑​t∣x​​μ(t)×F(​t​​x​​),则Ans=\sum_{G=1}^n\left(t\right)\times\lfloor\frac{n}{G}\rfloor\times\lfloor\frac{m}{G}\rfloor\times g(G)Ans=∑​G=1​n​​(t)×⌊​G​​n​​⌋×⌊​G​​m​​⌋×g(G)。

（t）是表示G是t的倍数，其实最后公式是Ans=sigma((n/G)*(m/G)*p[G]), p[G]=simga(u(G/d)) (d为完全平方数) ,p[G]函数用筛法枚举d即可得到，复杂度O（sqrt（n））

然后就是和前面一样的方法了。感觉我还是推的太渣了，各种不会推，是时候强行撸一波数论11题了，感谢本部的金牌爷梁爽学长教导

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15907512/