2016阿里笔试摇号买车

华电北风吹
日期：2016-4-21

题目：
某城市实行随机化小汽车指标拍卖摇号，每月一次，中签概率p=bid/100 000，其中bid为出价，如果中签将按照此bid付钱给交管局，每月摇号之前可以变更一次bid。由于某种强制限制条件的原因，小丽需要在6个月内中签一次，然后终止摇号。请问如何设置每次的出价，使得小李付出的期望成本最低？最低值是多少？保留4位有效数字。

解析：
多阶段决策，典型的动态规划解法。运筹学里面的普通题目，但是运用acm的那一套空间换时间的估计是不好算的。dp的关键是转移函数和状态定义。
在这道题目中，假设每个月投标xi,i=1,2,3,4,5,6，由于要求六个月内必须要中一次标，并且只中一次，所以x6必为100000。定义状态为si,i=1,2,3,4,5，分别表示第i个月投标xi未中标时损失的期望。由于x6=100000,s6以及以后的期望成本必全部为0。
可以有总成本期望为
S=x1100000x1+(1−x1100000)s1(1)
又有
s1=x2100000x2+(1−x2100000)s2(2)
s2=x3100000x3+(1−x3100000)s3(3)
s3=x4100000x4+(1−x4100000)s4(4)
s4=x5100000x5+(1−x5100000)s5(5)
投标x5未中标的时候，下一次必须投标100000，所以s5=x6=100000.
依次最小化公式(1-5)可得
x1=s12(6)
x2=s22(7)
x3=s32(8)
x4=s42(9)
x5=s52(10)
综上，依次带入公式(5,4,3,2,1)便可得到最小期望成分S=39924.8。