图论基础

图论基础

注———
本文是作者在学习过程中对知识的归纳总结，知识内容来自王义合先生主编的《离散数学引论》第六章–图的基本概念

正文——

6.1**图论的产生**
–七桥问题

问题描述：能否找到一条这样的路，使得它不重复经过每一个点，并且最终返回到起点？
然而没有人能找到这样的一条路，也没有人证明出不存在这样的路。
1736年，欧拉引入了图的概念，从而解决了这个问题。证明方法将在后文中介绍。
后来，图的概念开始被用于各种领域如物理、化学等。

6.2**基本定义**
1.G=(V,E)称为图：V是图的顶点(vertex)集，E是图的边(edge)集。
图实际上是顶点之间二元关系的集合。
2.顶点v、u邻接：{v，u}∈E
3.若|V|=p,|E|=q,则称G是一个(p,q)图
4.伪图：允许有环和多重边的图
环——–连接一个顶点和其自身的边，这样的边成为环。
多重边—两个顶点之间存在多条边。（七桥问题就是基于一个多重图）
5.零图：E=Ø的图称为零图
6.对称弧：x={u,v}和y={v,u}都属于E时，x、y称为一对对称弧
7.**子图**G=(V,E)是一个图，若F∈E,则称H=(V,F)为G的生成子图
**极大子图**G的子图H有某种性质，而G中不存在与H具有同种性质且包含于H的真子图，则称H为G具有此种性质的极大子图。
8.**导出子图**G=(V,E),设S∈V且S不为Ø，则G以S为顶点集的极大子图称为G由S导出的子图，记作< S >。
类似的概念还有G-{u},G-V,G-x,G-(u,v)
9.图的同构已知G=(V,E)和H=(U,F)，当V、U之间存在一个一一对应f：V->U。使得，∀v1，v2∈V，f(v1)=u1,f(v2)=u2,若(v1,v2)∈E,则(u1,u2)∈F。则称G、H同构。
10. 任意图中，度为奇数的顶点的个数必为偶数。
11 **最小度 δ（G）=min{deg u};
最大度 Δ（G）=max{deg v};**
如果δ（G）=Δ（G）=r,则称G是一个r正则度图。

6.3**通道、圈、连通图**
1**通道**：G=（V，E）是一个图，G的顶点和边的交错序列（v1,v1v2,v2,v2v3,v3……,vN-1vN,vN)称为G的一条通道。
闭通道：如果v1=vN，则是一条闭路。
2. 迹：边不重复的路
闭迹：头尾相同的迹。
3.路：边、顶点都不重复的通道。
圈： 头尾相同的路。
4.连通图：任意两个顶点之间都有路连接。

判断方法：    G=（V，E）   |V|=p  |E|=q------连通图----：存在两个不邻接的顶点，他们的度之和大于q-1,那么G是连通图。                            证明：略之                            ACM:运用并查集，逐步统一各点的根节点，即可判断------圈--------：如果所有顶点的度都是偶数，那么这个图有圈                            证明：最长路证明                            ACM:运用并查集，邻接顶点的根节点相同则有圈

6.4补图、偶图
1.补图：已知G=(V,E),G的补图记为G^C=(V,V*V-E)
自补图：G=G^C

拉姆齐数
例:任一有6个顶点的图，G或G^C中有一个三角形。
证明：略
应用：人群中，人们互相认识/不认识的问题

2.偶图：G=(V,E),如果V存在一个二划分{V1,V2},使得E中边的端点一个在V1中，一个在V2中，则称G是一个偶图。

判断偶图：
充要条件： 偶图<<—–>>G中每一个圈的长度都是偶数
证明：u∈V,按V中顶点与u距离的奇偶性划分，再套到圈的长度上即可。
一个莫名其妙的定理：所有具有p个顶点而没有三角形的图中，最多有[p^2/4]条边。

6.5欧拉图
欧拉闭迹：包含所有顶点的一条闭迹
欧拉图：存在一条欧拉闭迹的图

判断方法：
充要条件<<—>>G是连通的且每一个顶点的度都是偶数
证明：先把G划分成圈（没一个顶点的度都是偶数，故可行）；
Z1,Z2,Z3,……ZN;
而图是连通的，任意一个圈和其他圈之间，总有一条边连通。
数学归纳法证明余下步骤即可。

解决的问题：一笔画问题
如果一个图中没有奇度顶点，那么可以一笔画。
如果一个图中有2n个嫉妒定点，那么可以n笔画完（n条开迹）。
至此，七桥问题解决。

6.6 哈密顿图
哈密顿路：包含所有顶点的一条路（生成路）。
哈密顿图：存在 哈密顿圈的图称为哈密顿图。

判断方法：
没有充要条件！！！！
尚未被发现！！！！！
几个充分条件：