多臂赌博机，multi-armed bandit problem（2）：

感觉多臂赌博机方面的中文文献很少，偶尔碰到，记录一下，方便其它人学习。感谢原作者：http://mlyixi.byethost32.com/blog/?cat=35

这一节我们来了解下多臂赌博机问题的提出和理论基础,最后讨论下UCB系列策略.当然,这里的多臂赌博机问题是随机式的. 随机式多臂赌博机的问题描述就不在这里重复了,可以参考上一节

理论

问题的证明

Lai & Robbins在1985年论证了对于某些特定的分布(只有一个实参的分布),存在有策略使得它的累积遗憾的期望服从lognlog⁡n增长.同时也证明了对于任何策略任何次优臂,总有

E[Tj(n)]≥(lnn)/D(pj||p∗)E[Tj(n)]≥(ln⁡n)/D(pj||p∗)

, 即累积遗憾的期望存在有一个下界.

当然他们也提出了一些针对特定分布的策略,虽然结果较好(对数增长的常数项较小),但是由于计算复杂度和特定分布的限制,并不具有较好的实用性.

改进

为了克服上面的缺点, Agrawal提出了基于采样平均值作为上部信心指数(upper confidence index)的多臂赌博机策略,它将各臂采样平均值的某些函数作为该臂优越性的指标,然后总选取最优越的臂. 同时证明结果显示它们同样服从对数增长,只不过对数增长的常数项较大了些.

UCB策略

UCB1

该策略已经在上一节讨论过了,这里只列举下算法.

UCB1算法:
在前KK轮,每臂各选择一次,
在t=K,K+1...t=K,K+1...轮:

1. 选择指数IiIi最大的臂,其中Ii=x¯i+2logtni−−−−√Ii=x¯i+2log⁡tni,其中x¯ix¯i是均值,nini是臂ii当前累积被选择的次数
2. 记录获得的奖励,并更新x¯ix¯i和nini

UCB2

UCB2算法
在前KK轮,每臂各选择一次,并置ri=0ri=0

1. 选出指数IiIi最大的臂,其中Ii=x¯<em>i+a</em>n,riIi=x¯<em>i+a</em>n,ri,其中
   an,ri=(1+α)ln(en/τ(r))2τ(r)−−−−−−−−−−−−−−−−√an,ri=(1+α)ln⁡(en/τ(r))2τ(r)
   , 其中τ(r)=⌈(1+α)r⌉τ(r)=⌈(1+α)r⌉
2. 选择该臂τ(ri+1)−τ(ri)τ(ri+1)−τ(ri)次
3. ri++ri++

定理: 如果n≥max12Δ2in≥max12Δi2,则总的遗憾期望不超过

∑i:μi<μ∗((1+α)(1+4α)ln(2eΔ2in)2Δi+cαΔi)∑i:μi<μ∗((1+α)(1+4α)ln⁡(2eΔi2n)2Δi+cαΔi)

e-Greedy策略

在多臂赌博机问题中贪婪算法并不适用,但是,可以改良一下,如Sutton &Barto在1998年提出的ϵ−greedyϵ−greedy算法,它简单地以1−ϵ1−ϵ的概率选择最大的采样均值的臂,而以ϵϵ的概率去随机选择臂. 但是,它并不是对数增长的. 它需要人为地设定一个停止规则,而且,这个停止规则必然和各臂期望有关.

一个好的改良叫做ϵn−greedyϵn−greedy算法.

定义参数c>0c>0, d:0<d≤minΔid:0<d≤minΔi和ϵn=min(1,cKd2n)ϵn=min(1,cKd2n)

ϵn−greedyϵn−greedy算法
在前KK轮,每臂各选择一次,

1. 以1−ϵn1−ϵn的概率选择最大的采样均值的臂,而以ϵnϵn的概率去随机选择臂.
2. 更新ϵnϵn

虽然该方法在仿真中能得到很好的结果,但实际情况是各臂期望不可知,无法确定较好的dd,所以只能设置一个较大的cc(其实c,d可以合并成同一参数).

一般来说,如果dd满足条件,c>5c>5足够保证对数增长.

UCB1-NORMAL

UCB1-NORMAL算法
1. 如果有臂被选择的次数少于⌈8logn⌉⌈8log⁡n⌉,那么就选择该臂
2. 否则,选择指数IiIi最大的臂,其中Ii=x¯i+16(qi−nix¯2i)ln(n−1)(ni−1)(ni)−−−−−−−−−−−−√Ii=x¯i+16(qi−nix¯i2)ln⁡(n−1)(ni−1)(ni), 其中qi=∑x2iqi=∑xi2
3. 更新x¯ix¯i和qiqi

定理
UCB1-NORMAL算法下总的遗憾期望不超过

256logn(∑i:μi<μ∗σ2iΔi)+(1+π22+8lnn)(∑i=1KΔi)256log⁡n(∑i:μi<μ∗σi2Δi)+(1+π22+8ln⁡n)(∑i=1KΔi)

好了,这样就列举完了UCB基本算法了.当然,还有很多变种,留待以后补充. 但其实,各UCB算法的差异并不足够大.