【线段树】浅谈区间问题(1)
来源:互联网 发布:做网络销售工资怎么样 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 03:39
文章将谈到如下内容
1、线段树,O(n)-O(qlogn) online。
2、ST(Sparse Table),O(nlogn)-O(q) online。
1.线段树
利用二分的思想将所求区间进行二分,从而将时间代价从朴素O(n^2)优化到O(nlogn)级别。
下面上一道裸题便于理解。时间代价O(2*n–构树+q*logn–q组查询)。
动态统计1
【问题描述】
有一个包含n个元素的整数数组A,对A可以进行以下两种操作:
1、修改一个元素,modify a b 例如modify 1 3,即把A[1]改为3
2、可以查询一个query a b 例如query 1 3即查询区间[1, 3]内所有元素之和。
输入
第一行两个整数n,m。 接下来n个不大于1000的数。 最后m行 每行表示一个操作,格式为,modify a b 或query a b
输出
依次输出Query a b的值。
【问题分析】 无~~~~
#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int N=10001;int n,m,top; int num[N];struct zk { int left,right,leftchild,rightchild,middle,sum; }; zk tree[N*2];//left,right表示左区间和右区间开始和结束,这里使用的是左开右闭区间,注意!!!void read(){ int i; scanf("%d%d",&n,&m); for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&num[i]); tree[1].left=1; tree[1].right=n+1; top=1; return;}void build_a_tree(int k){ if (tree[k].left==tree[k].right-1) { tree[k].sum=num[tree[k].left]; return; } tree[k].middle=(tree[k].left+tree[k].right)/2; top++; tree[k].leftchild=top; tree[top].left=tree[k].left; tree[top].right=tree[k].middle; build_a_tree(top); top++; tree[k].rightchild=top; tree[top].left=tree[k].middle; tree[top].right=tree[k].right; build_a_tree(top); tree[k].sum=tree[tree[k].leftchild].sum+tree[tree[k].rightchild].sum; return;}int query(int a,int b,int k){ if (a==tree[k].left&&b==tree[k].right-1) return tree[k].sum; else if (a>=tree[k].middle) return query(a,b,tree[k].rightchild); else if (b<tree[k].middle) return query(a,b,tree[k].leftchild); else return query(a,tree[k].middle-1,tree[k].leftchild)+query(tree[k].middle,b,tree[k].rightchild);}void modify(int a,int b,int k){ if (tree[k].left==tree[k].right-1) { tree[k].sum=b; return; } if (tree[k].middle>a) modify(a,b,tree[k].leftchild); else modify(a,b,tree[k].rightchild); tree[k].sum=tree[tree[k].leftchild].sum+tree[tree[k].rightchild].sum; return;}void work(){ int i,a,b; char s[6]; for (i=1;i<=m;i++) { scanf("%s%d%d",s,&a,&b); if (s[0]=='m') {modify(a,b,1);} else printf("%d\n",query(a,b,1)); } return;}int main(){ read(); build_a_tree(1); work(); return 0;}
2.Sparse Table
一个特别哲♂学的算法,基于线段树的二分思想,加上dp,从而将时间代价优化到不可思议的地步。
用F[i][j]表示从第i个元素开始,长度为j^2的区间中的最值,显然,状态转移方程是:
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 2 ^ (j - 1)][j - 1])
就是说有一个区间i到j
i~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~j
i~~~~~~~~~~~~~(i+j)/2~~~~~~~~~~~~~~~j
所以说F[i][j]可以用俩区间最值来求,从而二分节省时间代价O(nlogn–构树+q–查询)
接下来说一下查询吧,很哲♂学。要求一个给定区间[a,b]中的最大值,一定可以将这个区间划分为俩个已知最值的区间(可以有重叠部分,对答案无影响),这俩个区间分别是[a,a+(t^2)]和[b-t^2,b],然后O(1)代价取出即可,然后查找区间就涉及2^n的快速计算,可以优化。
这里偷懒就不上代码了。。。
这就是一些比较简单的求区间问题的方法。
还有很多很神奇的东西比如说:RMQ,树状数组等等。。。。
这些内容将在下节内容中提到。
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