【数据结构与算法】寻找最大的K个数

腾讯一面遇到这个题，发现这个题真的是比较经典，打算在这里好好总结一下。

参考自师姐的博文：http://blog.csdn.net/xiaxia__/article/details/44965455（XIAXIA_的专栏）

题目简介：

有很多无序的数，我们姑且假定他们各不相等，怎么选出其中最大的K个数呢？

解法一：直接排序

第一反应，假设有N个数，我们使用一个N个长度的数组将其存储下来，并且使用排序算法将其从大到小依次排列。排序完成后，输出前K个数。如果N不小，但是也不大，比如几千什么的，可以采用快速排序来完成。

复杂度分析： 
快速排序平均的复杂度为O(NlogN)。

解法二：部分排序

简单分析一下，我们就能发现解法一的一个明显不足之处，那就是我们将所有的元素都进行了排序，而题目要求只是寻找最大的K个数，也就是说我们只要将最大的K个数排好序就好了，没必要将剩下的N-K个数也进行排序。

在这里，我们可以使用快速排序来完成这个部分排序的功能。在快速排序中，每一轮都需要选定一个pivot，每一轮排序完成后，比pivot大的数都排在它前面，而比pivot小的数都排在它的后面。假设前面的序列为Sa，后面的序列为Sb，Sa的长度为n。

此时有三种情况：

1）当n>K时，我们直接输出Sa的前K个元素就好了； 
2）当n=K时，我们直接输出Sa这个序列； 
3）当n<K时，我们就需要从Sb中找出K−n个元素和Sa一起输出就好了。

完整测试代码如下：

#include <iostream>  #include <ctime>#include <cstdlib>using namespace std;  void kBig(int *pArray, int low, int high, int K);int partion(int *pArray, int low, int high);int main()  {  srand((unsigned)time(NULL));   int data[50];int K = 3, i;for(i = 0; i < 50; i++){data[i] = rand() % 200;cout << data[i] << " ";}cout << endl;        kBig(data, 0, 50 - 1, K);for (i = 0; i < K; i++)            cout << data[i] << endl;return 0;}  //将前K大个数移到数组前K个位置上void kBig(int *pArray, int low, int high, int K){    int index, n;    if (low <= high)    {        //对数组进行划分，并返回划分的位置        index = partion(pArray, low, high);        n = index - low + 1;             //Sa的个数        if (n == K)             //如果恰好是K个的话，那么返回            return;        if (n < K)     //如果Sa的个数不够的话，那么再从Sb中找K-n个            kBig(pArray, index + 1, high, K - n);        if (n > K)     //如果Sa的个数大于K的话，那么就从Sa里面返回K个            kBig(pArray, low, index, K);    }}//快速排序的划分函数并返回pivot的坐标int partion(int *data, int left, int right){if(left >= right)return left;int pivot;pivot = data[left];while(left < right){while(right > left && data[right] <= pivot)right--;data[left] = data[right];while(right > left && data[left] >= pivot)left++;data[right] = data[left];}data[left] = pivot;    return left;}

复杂度分析：

复杂度为O(N)。

解法三：堆排序

如果N是一个较大的数，那用这么大的数组来存储并进行快排，这就是非常不明智地做法了。此时我们可以使用一个大小为K的最小堆来完成。完整测试代码如下：

#include <iostream>  #include <ctime>#include <cstdlib>using namespace std;  void PercDown(int *data, int i, int N){int tmp, child;child = i << 1;for(tmp = data[i]; child <= N;){if(child + 1 <= N && data[child + 1] < data[child] )child++;if(data[child] >= tmp)break;data[i] = data[child];i = child;child = i << 1;}data[i] = tmp;}void BuildHeap(int *data, int N){int i;for(i = N / 2; i > 0; --i)PercDown(data, i, N);}int main()  {  srand((unsigned)time(NULL));   int data[50];int sortheap[11] = {0};int K = 10, i;for(i = 0; i < 50; i++){data[i] = rand() % 200;if(i < 10)sortheap[i + 1] = data[i];cout << data[i] << " ";}cout << endl;BuildHeap(sortheap, 10);                                 //建立大小为K的最小堆for(i = 10; i < 50; ++i){if(data[i] > sortheap[1])                        //遍历剩下的元素，如果大于根节点就赋值到根节点，然后下滤{sortheap[1] = data[i];PercDown(sortheap, 1, 10);}}for (i = 1; i < 11; i++)        cout << sortheap[i] << " ";cout << endl;return 0;}  

复杂度分析：O(NlogK)可以看到堆排序这种做法并没有怎么提高时间复杂度，但是却极大的降低了对空间的存储要求，只需要维护一个K大小的堆。

对于堆排序，需要牢记的是 下滤(PercDown) 这个函数，有了这个函数，我们可以轻易实现 BuildHeap，DeleteMin的操作。此外，PercDown 这个函数还很契合我们当前的这个用法。

解法四：计数排序法

适用情况：如果所有N个数都是正整数，且他们的取值范围不大，我们知道最大的数是MAXN。那么我们可以申请一个数组count[MAXN] 来记录每个数出现的次数。然后我们就可以找出最大的K个数。

复杂度:O(N)