【模板】图的双联通分支 ，tarjan算法

原文地址：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_71aa4dbb01010qsc.html
补充几点概念：
横插边：连接到已经出栈的节点的边；
后向边：连接到已在栈中节点的边；
树枝边:在搜索树中的边。

基本概念：
1.割点：若删掉某点后，原连通图分裂为多个子图，则称该点为割点。
2.割点集合：在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。
3.点连通度：最小割点集合中的顶点数。
4.割边(桥)：删掉它之后，图必然会分裂为两个或两个以上的子图。
5.割边集合：如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。
6.边连通度：一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。
7.缩点：把没有割边的连通子图缩为一个点，此时满足任意两点之间都有两条路径可达。
注：求块<>求缩点。缩点后变成一棵k个点k-1条割边连接成的树。而割点可以存在于多个块中。
8.双连通分量：分为点双连通和边双连通。它的标准定义为：点连通度大于1的图称为点双连通图，边连通度大于1的图称为边双连通图。通俗地讲，满足任意两点之间，能通过两条或两条以上没有任何重复边的路到达的图称为双连通图。无向图G的极大双连通子图称为双连通分量。
Tarjan算法的应用论述：
1.求强连通分量（见上一篇文章，本文第一行有链接）、割点、桥、缩点：
对于Tarjan算法中，我们得到了dfn和low两个数组，
low[u]:=min(low[u],dfn[v])——(u,v)为后向边，v不是u的子树；
low[u]:=min(low[u],low[v])——(u,v)为树枝边，v为u的子树；

2016-5-10 回顾
可以画一个图来进行理解，这样会轻松不少：

割点 自然为D,E
桥为D->E

下边对其进行讨论：
若low[v]>=dfn[u],则u为割点，节点v的子孙和节点u形成一个块。因为这说明v的子孙不能够通过其他边到达u的祖先，这样去掉u之后，图必然分裂为两个子图。这样我们处理点u时，首先递归u的子节点v，然后从v回溯至u后，如果发现上述不等式成立，则找到了一个割点u，并且u和v的子树构成一个块。

若low[v]>dfn[u],则(u,v)为割边。 但是实际处理时我们并不这样判断，因为有的图上可能有重边，这样不好处理。我们记录每条边的标号（一条无向边拆成的两条有向边标号相同），记录每个点的父 亲到它的边的标号，如果边(u,v)是v的父亲边，就不能用dfn[u]更新low[v]。这样如果遍历完v的所有子节点后，发现low[v]=dfn[v]，说明u的父亲边(u,v)为割边。

2.求双连通分量以及构造双连通分量：
对于点双连通分支，实际上在求割点的 过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果 遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组 成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。

对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。

一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。

统 计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就 是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为 一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。

beyong the void

该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点。根据定义，则有：
Low(u)=Min { DFS(u) DFS(v) (u,v)为后向边(返祖边) 等价于 DFS(v) < DFS(u)且v不为u的父亲节点 Low(v) (u,v)为树枝边(父子边) }
一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)
(1) u为树根，且u有多于一个子树。
(2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFS(u)< =Low(v)。
一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFS(u) < Low(v)。
[求双连通分支]
下面要分开讨论点双连通分支与边双连通分支的求法。
对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。
对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。
[构造双连通图]
一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。
统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。
[图的双连通性问题例题]
备用交换机 求图的割点，直接输出。
pku 3177(3352) Redundant Paths 求桥，收缩边双连通子图，构造边双连通图。
POI 1999 仓库管理员 Store-keeper 求点双连通子图。

找到了kuangbin 大牛的模板，稍微改了一下：

/* 求无向图的割点和桥 可以找出 割点和桥，可以求出删掉每个点后增加的连通块 需要注意重边的处理，可以先用矩阵存，再转领接表，或者判重 */const int MAXN = 200010;//点数const int MAXM = 2000010;//边数，因为是无向图，所以这个值要*2struct Edge{    int to,next;    bool cut;//是否是桥标记    bool cong;}edge[MAXM];int head[MAXN],tot;int Low[MAXN],DFN[MAXN],Stack[MAXN],Belong[MAXN];//  Belong数组表示属于哪一个连通块int Index,top;bool Instack[MAXN];bool cut[MAXN];    //自然用来存割点int add_block[MAXN];  // 删除一个点后增加的连通块数int bridge;//桥的数目int block; // 连通块数量void addedge(int u,int v){    edge[tot].to = v;edge[tot].next = head[u];edge[tot].cut=false;    head[u] = tot++;}void Tarjan(int u,int pre){    int v;    Low[u] = DFN[u] = ++Index;    Stack[top++] = u;    Instack[u] = true;    int son=0;    //  统计某个点在搜索树中的儿子个数    for(int i = head[u];i != -1;i = edge[i].next)    {        v = edge[i].to;        if(v == pre )continue;        if( !DFN[v] )        {            son++;            Tarjan(v,u);            if( Low[u] > Low[v] )  Low[u] = Low[v];            //一条边 (u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边(u,v都在栈里面),且满足DFN(u)<Low(v)            if(Low[v] > DFN[u])            {                bridge++;                edge[i].cut = true;                edge[i^1].cut = true;   //因为是无向图，自然增加了两条边            }            //割点            //一个顶点u是割点，当且仅当满足（1）或者(2);  （1）u为树根,且u有多于一个子树。            //（2）u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边（u为v在搜索树中的父亲），使DFS(u)<=Low(v)            if(u!=pre && Low[v] >= DFN[u]){                 cut[u] =true;                 add_block[u]++;            }        }        else if( Instack[v] && Low[u] > DFN[v] )            Low[u] = DFN[v];    }    //数根，分支数>1    if(u== pre && son>1 )  cut[u]=true;    if(u== pre)  add_block[u]=son-1;    Instack[u]=false;    top--;}void init(){    tot = 0;    memset(head,-1,sizeof(head));}void solve(int N){    memset(DFN,0,sizeof(DFN));    memset(Instack,false,sizeof(Instack);    memset(add_block,,sizeof(add_block) );    memset(cut,false,sizeof(cut) );    Index=top=bridge=0;    for(int i=1;i<=N;i++)          if(!DFN[i]){           block++;           Tarjan(i,i);        }}