bzoj 2440: [中山市选2011]完全平方数

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

,    T ≤ 50

Source

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题解：莫比乌斯函数的应用。

这道题要求第k个无平方因子数，直接进行求解1e9很不现实，所以想到了二分答案，如果能计算出[1,i]中有多少数是无平方因子数，那么就可以不断二分缩小答案所在的范围。对于第1-i的无平方因子数我们可以用容斥定理得到，拿总的个数减去4的倍数(-n/4个)，减去9的倍数(-n/9个)，但是36既是4的倍数又是9的倍数，被减了两次，要加回来(+n/36)，这样容斥就出来了，通过找规律可以发现前面的符号正好和数字开根号后对应的莫比乌斯函数相同，根据mu的定义，当质因子指数为1时，mu=(-1)^k  k 表示质因子数，所有1-i的无平方因子数的个数就是i-奇数个质数的平方的倍数的个数+偶数个质数的平方的倍数的个数。我看网上的题解中说答案不会超过2*i，那么确定了二分答案的

上界，只需要计算+判断即可。计算时枚举到了一个数t，要计算[1..i]的范围内有几个数是它的平方的倍数，这个结果显然是floor(i/(t*t))。然后再乘上它的mu就得到了它对答案的贡献。因为是下取整，所以t枚举到sqrt(i)就可以了。

注意：这道题在计算的过程中可能会爆int,所有二分时需要用long long ，刚开始没注意结果好像就死在里面出不来了。TAT

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#define N 100000using namespace std;int n,m,t;int pd[N+3],prime[N+3],mu[N+3];void calc(){mu[1]=1;for (int i=2;i<=N;i++) { if (!pd[i])  {  prime[++prime[0]]=i;  mu[i]=-1;  } for (int j=1;j<=prime[0];j++) { if (i*prime[j]>N) break; pd[i*prime[j]]=1; if (i%prime[j]==0)  {  mu[i*prime[j]]=0;  break;  } else  mu[i*prime[j]]=-mu[i]; } }}long long check(long long  x){long long ans=0;for (int i=1;i*i<=x;i++) ans=(long long)ans+(long long)mu[i]*(x/(i*i));return ans;  }int solve(long long l,long long  r){long long head=l; long long tail=r;while (head!=tail){long long  mid=(long long)(head+tail)/2;if (check(mid)>=n) tail=mid;else head=mid+1;}return  head;}int main(){scanf("%d",&t);calc();for (int i=1;i<=t;i++) { scanf("%d",&n); printf("%d\n",solve(0,2*n)); }}