算法课笔记系列（五）—— 图（Part1）

半期后开始的第一个算法是图。这部分内容蛮多的，老师也讲的很快。所以写作业之前还是先梳理一下。这部分会分为两次课，这是第一部分。

首先是图里最简单和经典的深度优先搜索（Depth-FirstSearch）和广度优先搜索（Breadth-First Search）。

先需要了解一个对图的遍历。输入一个图G=(V, E)， v ∈V，如果对从v出发的所有结点u都可达，那么VISITED(u)就设为true。

        

其中，PREVISIT 和 POSTVISIT算法是可选。当一个顶点是第一次被遍历或者是最后一次被剩下，这两个方法才会被调用。

可以证明，EXPLORE(G, v)是正确的，也就是说，可以访问到所有从v可达的结点。这里简单证明一下，从两个方面。首先它访问的每个结点都一定是可以从v可达的，因为该算法只从结点移动到它们的邻居结点，因此不能够跳到v不可达的区域；其次，每一个从v可达的结点最终都会被访问到，我们假设有某个结点u被该算法忽略了，选择任何从v到u的路径，观察这个过程中在该路径上实际最后访问的结点z。令w为相同路径之后下一个要访问的结点，因此z会被访问，但是w不能。这就产生一个矛盾，如果该算法能够访问到z，那么肯定就可以观察到w，并移动到w的位置访问。

DFS的算法过程如下：

        

一个例子，假设我们使用字母表的顺序来遍历G：

        

运行循序为下面的数字标识。

因为VISITED是一个数组，因此，每一个结点都只会被EXPLORE(G, v)执行一次。在整个过程中，有以下两个步骤：

1） 一些固定工作，比如对结点做标记，以及PRE/POSTVISIT。整个过程需要O(|V|)。

2） 相邻边扫描的一个循环，对于每一个结点，循环的时间成本不同。在DFS中，每一条边<x, y>都会被检查两次，分别在EXPLORE(G, x)和EXPLORE(G, y)。因此总共时间是O(|E|)。

因此，深度优先搜索运行时间为O(|V| + |E|).

    如果在任意结点对之间都有一条路径，那么，偶们称这个无向图是连接的。连通组件是内部连接的一个子图，但是没有与剩下结点相连接的边。DFS的外循环每一次调用EXPLORE，一个新的连通组件就会被选择。DFS可以轻易地检查一个图是否是连通的。对于任意的结点u和v，两个区间[PRE(u), POST(u)]和[PRE(u), POST(u)]要么是不相交的，要么其中一个是另一个的子集。

DFS生成一个搜索树或者森林，有根，有祖先和后代，有双亲和孩子。有一种边的类型，树边事实上是DFS森林的一部分，前向边在DFS树中从一个结点指向一个非孩子的后代，后向边在DFS树中指向一个祖先，交叉边既不是指向祖先也不是指向后代，它们指向已经被完全遍历过的结点。

有向无环图（DAG，directed acyclic graphs）：

有向图中的环是一个循环路径：

 一个有向图有一个环当且仅当它的深度优先搜索显示了一个后向边。这里就不做证明了.

一个有向图的连通性在于，两个结点u和v是连通的，如果它们之间存在一条路径，该路径可以是从u到v的，或者是从v到u的。这样的关系将V分离成不连通的集合，称为强连通组件。每一个有向图都是它的强连通组件的有向无环图。

BFS的算法步骤如下：

         

一个例子，假设我们使用字母表的顺序来遍历G：

        

对于每一个d=0,1,2,…,会存在这么一个时刻，从s出发距离小于等于d的所有结点都有使得它们的距离被正确设置，所有其他的结点的距离都被设为∞，以及队列中只包含距离为d的结点。BFS的时间运行成本也是O(|V| + |E|)。

接着是最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）。

这一部分是之前在贪心算法中的剩余一部分没讲的内容。最小生成树有许多的应用，如网络设计，NP难问题的近似算法，聚类分析，最大瓶颈路径等直接应用等。

给定一个连通图G=（V，E），每一条边的权值为C_e，一颗最小生成树是有着边E的子集T使得T是一颗边的权重和最小的生成树(包含所有顶点)。

如下图：

                 

使用贪心算法来生成一棵MST。

第一种算法是Kruskal算法。首先令T为空集，以边权重递增顺序开始考虑，不断往T中插入边e，除非会生成一个环。

        

排序需要O(m log n)，联合查询需要O(m α (m, n))

第二种算法是反删除算法。也就是令T=E，以边权重递减顺序考虑，不断将e从T中删除，除非会导致T不相连通。

第三种算法是Prim算法。从一些根节点s开始，贪心的从s向外扩展生成一棵树T。在每一个步，将权重最小的边e加到只有一个端点的T中。

                

Prim算法的复杂度为，使用数组的话O(n²)，使用二元堆的话为O(m log n)

考虑一个简化情况是，所有边的权重都是不同的。

切割性质：令S是结点的任何一个子集，e是与S中的恰恰一个端点联系的一条有最小权重的边，那么MST包含e。

环性质：令C是任意的环，f是属于C的有着最大权重的边，那么MST不包含f。

证明这里就省略。

也可以使用这两种性质的交来选择。

聚类分析是最小生成树的一个应用。给定一个标记着p1,p2,…pn的n个对象（照片啊，文档啊，微生物等等）的集合U，将其分类成关联的多个群组。K聚类则是将对象分成k个非空的组。间隔是指在不同的聚类中，任何对点之间的最小距离。所以，最大间隔聚类是给定一个整数k，找到一个有着最大间隔的k聚类。

 

本节课的最后讲了一下最短路径问题。

从u到v的最短的路径是指从u到v有着最小权重的路径，表示为=min{w(p):p是从u到v的路径}，其中

                     

=∞表示从u到v之间不存在路径。

一条最短路径的子路径也是最短路径。三角不等式原理：

                   

对于所有的u,v,x ∈V，

第一个算法是Dijkstra's algorithm.

         

简单来说，Dijkstra算法是用来找a和b之间的最短路径。首先选择一个有着最短距离的未访问过的结点开始，计算与它所有相邻的未访问过的邻居结点之间的距离，如果更小，则更新邻居结点距离。访问过后标记已访问的结点。

其时间复杂度为：