完全背包 2016.5.8

一、题目

有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用

放入第 i 种物品的耗费的空间是 Ci，得到的价值是 Wi

求解：

将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大

二、基本思路

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件

也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种

而是有取 0 件、取 1 件、取 2 件……直至取 ⌊V / Ci⌋ 件等很多种

如果仍然按照解01背包时的思路，令 dp[i,  v] 表示前i种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大权值

仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程

像这样：
dp[i， v] = max{dp[i − 1， v − kCi] + kWi | 0 ≤ kCi ≤ v}

这跟01背包问题一样有O(V * N)个状态需要求解

但求解每个状态的时间已经不是常数了，求解状态 dp[i， v] 的时间是 O( v / Ci)

总的复杂度可以认为是 O(N * V * Σv/Ci )，是比较大的

将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法

这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题

但我们还是要试图改进这个复杂度

三、一个简单有效的优化

若两件物品 i、 j 满足 Ci ≤ Cj 且 Wi ≥ Wj ，则将可以将物品 j 直接去掉，不用考虑

这个优化的正确性是显然的：

任何情况下都可将价值小耗费高的j换成物美价廉的 i，得到的方案至少不会更差

对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度

然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉

这个优化可以简单的O(N ^ 2)地实现，一般都可以承受

另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：

首先将费用大于V 的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个

可以O(V + N)地完成这个优化

四、转化为01背包问题求解

考虑到第 i 种物品最多选 V / Ci 件

于是可以把第 i 种物品转化为 V / Ci 件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题

这样的做法完全没有改进时间复杂度

但这种方法也指明了将完全背包问题转化为01背包问题的思路：

将一种物品拆成多件只能选 0 件或 1 件的01背包中的物品

更高效的转化方法是：

把第 i 种物品拆成费用为 Ci * 2^k、价值为 Wi * 2^k 的若干件物品，其中 k 取遍满足 Ci * 2^k ≤ V 的非负整数
这是二进制的思想

因为，不管最优策略选几件第 i 种物品，其件数写成二进制后，总可以表示成若干个 2^k 件物品的和

这样一来就把每种物品拆成 O(log(V / Ci) ) 件物品，是一个很大的改进

五、O(V * N)的算法

这个算法使用一维数组，先看伪代码：
dp[0..V ] = 0
for i = 1 to N
    for v = Ci to V
        dp[v] = max(dp[v],  dp[v − Ci] + Wi)

你会发现，这个与01背包问题的代码只有v的循环次序不同而已

为什么这个算法就可行呢？

首先想想为什么01背包中要按照 v 递减的次序来循环

让v递减是为了保证第 i 次循环中的状态 dp[i,  v]是由状态 dp[i − 1,  v − Ci]递推而来

换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次

保证在考虑“选入第 i 件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第 i 件物品的子结果 dp[i −1,  v − Ci]

而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件

所以在考虑“加选一件第 i 种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第 i 种物品的子结果 dp[i,  v − Ci]

所以就可以并且必须采用 v 递增的顺序循环

这就是这个简单的程序为何成立的道理

值得一提的是，上面的伪代码中两层for循环的次序可以颠倒

这个结论有可能会带来算法时间常数上的优化

这个算法也可以由另外的思路得出

例如，将基本思路中求解 dp[i, v − Ci]的状态转移方程显式地写出来

代入原方程中，会发现该方程可以等价地变形成这种形式：
dp[i,  v] = max(dp[i − 1, v],  dp[i, v − Ci] + Wi)
将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码

最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码：
def CompletePack(dp, C, W)
    for v = C to V
        dp[v] = max{dp[v],  dp[v − C] + W}

六、小结

完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程

希望能够对这两个状态转移方程都仔细地体会

不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法
事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来

是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法

转自《背包九讲V_2.0》%%%作者，感谢作者

NYOJ 311 完全背包

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int maxn = 2000 + 10;int C[maxn];int W[maxn];int dp[50010];int main(){#ifdef __AiR_H    freopen("in.txt", "r", stdin);#endif    int N;    scanf("%d", &N);    while (N--) {        int M, V;        scanf("%d%d", &M, &V);        for (int i = 1; i <= M; ++i) {            scanf("%d%d", &W[i], &C[i]);        }        dp[0] = 0;        for (int i = 1; i <= V; ++i) {            dp[i] = -INF;        }        for (int i = 1; i <= M; ++i) {            for (int j = W[i]; j <= V; ++j) {                dp[j] = max(dp[j], dp[j-W[i]] + C[i]);            }        }        if (dp[V] >= 0) {            printf("%d\n", dp[V]);        } else {            printf("NO\n");        }    }    return 0;}