笔试编程题必杀技——动态规划

在笔试编程题中，最常见题型莫过于动态规划了，以前一直不太清楚，今天下定决心好好梳理一番。

动态规划是通过组合子问题的解决而解决整个问题的，一个大问题分解成一个小问题，这个小问题再分成小问题，以此类推，直至求出最终结果。

首先看一个把我虐了无数遍的问题：最大子数组的问题。

题目：一个有N个整数元素的一位数组(A[0], A[1],...,A[n-1], A[n])，这个数组当然有很多子数组，那么数组之和的最大值是什么呢？

例如：有数组int A[5] = {-1, 2, 3, -4, 2}；符合条件的子数组为2,3，最终答案为5。

明确一下题意：1、子数组必须是连续的。

    2、不需要知道最后符合要求的子数组具体是什么，在什么位置。

    3、数组中可以包含正数、负数、0。

首先我们看看最简单的也是我当初都不会的穷举法（羞愧ing）：

public static int findMaxSubArray(int[] A, int n){int max = Integer.MIN_VALUE;for(int i=0; i<n; i++){int sum = 0;for(int j=i; j<n; j++){sum += A[j];if(sum > max){max = sum;}}}return max;}

这种方法简单粗暴，依次求出每个子数组之后，找出最大值。

时间复杂度是o(n^2)。

这样的方法会不会有点low呢，面试官们会喜欢吗？当然不！这题他们是想考你动态规划！！！

我们来捋一捋题目，考虑数组的第一个元素和最大的一段数组，即A[0]和(A[I],...,A[j])的关系，有如下情况：

1、当0=i=j时，元素A[0]就是最大的一段

2、当0=i<j时，和最大的一段从A[0]开始

3、当0<i时，元素A[0]和最大的一段没有关系

可以将一个大问题（N个元素数组）转化为一个较小的问题（N-1个元素数组），如果知道（A[1]，...，A[n-1]）中和最大的一段数组之后为All[1]，并且知道（A[1]，...，A[n-1]）中包含A[1]的和最大的一段数组为start[1]，那么不难得出结论：（A[1]，...，A[n]）中的问题的答案All[0] = max{A[0], A[0]+srart[1], All[1]}，通过这么一分析，可能你蒙圈了，但是简而言之，将A[0]和剩下元素分开看，如果知道剩下元素组成的数组的最大子数组之后sum，那么整个数组的最大子数组之后就是A[0],A[0]+sum, sum三者之间的最大值了。

</pre><pre name="code" class="java">public static int dongtaifind(int[] A, int n){int start = A[n-1];int max = A[n-1];for(int i=n-2; i>=0; i--){start = max(A[i], start+A[i]);max = max(start, max);}return max;}public static int max(int m, int n){if(m >= n)return m;else {return n;}}

这个问题我们暂时告一段落：

下面看一下更加经典的01背包问题：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

我们把题目具体下， 有5个商品，背包的体积为10，他们的体积为 c[5] = {3,5,2,7,4};  价值为 v[5] = {2,4,1,6,5};

一个物品可以放或不放。

如果一个问题的最优解包含了物品n，即Xn = 1，那么其余X1, X2, .....,Xn-1 一定构成子问题1,2,.....,n-1在容量C - cn时的最优解。

如果这个最优解不包含物品n,即Xn = 0; 那么其余 X1, X2.....Xn-1一定构成了子问题 1,2,....n-1在容量C时的最优解。

public static int MaxValue(int[] c, int[] v, int n, int capacity){//c数组代表体积，v数组代表价值，n代表商品个数，S代表背包体积int max = 0;int[][] table = new int[n+1][capacity+1];for(int i=0; i<n; i++){for(int k=0; k<capacity; k++){table[i][k] = 0;}}for(int i=1; i<=n; i++){for(int k=1; k<=capacity; k++){if(c[i-1] > k){table[i][k] = table[i-1][k];}else {table[i][k] = max(table[i-1][k], table[i-1][k-c[i-1]]+v[i-1]);}}}return table[n][capacity];}

参考：http://www.cnblogs.com/bourbon/archive/2011/08/23/2151044.html