【meet in the middle深度优先搜索】 NOI2001方程的解数

【问题描述】
已知一个n元高次方程：

其中：x1, x2, …,xn是未知数，k1,k2,…,kn是系数，p1,p2,…pn是指数。且方程中的所有数均为整数。

【问题分析】
首先肯定是dfs了，似乎除了高斯消元(这里先不讨论，有兴趣的话可以去这里->传送门)。那么再一看是NOI的题目，肯定不会辣么简单。。所以应该会有什么剪枝之类的吧。。。但是蒟蒻……

剪枝：如果前i个式子和与后面式子的取值区间怎么匹配都无法达到0，那么当前情况减掉，预处理一下某一段区间的最值，然后搜索的时候判断一下即可。

然后 这么简单的剪枝 呵呵 6s 我也超时了。。。。

所以这里介绍一个考试时神犇教我的一个算法meet in the middle。什么意思呢？
就是说对于这种穷枚举的dfs(就是枚举范围很大这种)，我们设有N个未枚举的量，M是量的区间长度。
那么正常dfs时间代价应该是O(N^M)，很大的。那么meet in the middle用的是一个二分思想，将未知变量分为俩半，dfs分别求出俩段区间所能达到的所有情况，然后利用乘法原理在处理一下俩边的取值就可以得出答案。那么分析一下时间代价O(2*N^(M/2))==O(N^(M/2)),在M不小的情况下有奇效。

回到本题，这里说一下写的时候遇到的问题:在求出俩个区间的取值之后不知道该怎么用乘法原理，因为区间往往很长，所以暴力的枚举肯定要TLE的，所以想到这么一种方法:先排序，然后根据区间的递增性，如果reach1[i]+reach2[j]=0，那么找找连续的reach值有多少个，然后乘法即可。

这里谈一点跟dfs有关的东西:dfs可以说是算法中最最基础的一部分，现在很多的搜索题都是考察用其他算法或者数据结构的基础上用dfs，同时dfs也可以说是很多神奇算法的基础，非常神奇！

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;const int MANY=3500000;const int N=11;struct zk { int k,p; }; zk part1[N],part2[N];int n,m,half,ans,top1,top2;   int reach1[MANY],reach2[MANY];void read(){    int i;    scanf("%d%d",&n,&m);    half=n/2;    for (i=1;i<=half;i++)        scanf("%d%d",&part1[i].k,&part1[i].p);    for (i=1;i<=n-half;i++)        scanf("%d%d",&part2[i].k,&part2[i].p);    return;}int quick(int p,int q){    int temp;    if (q==1) return p;    temp=quick(p,q/2);    if (q%2==0)        return temp*temp;    else        return temp*temp*p;}void dfs1(int step,int now){    int i;    if (step==half+1)    {        reach1[++top1]=now;        return;    }    for (i=1;i<=m;i++)        dfs1(step+1,now+quick(i,part1[step].p)*part1[step].k);    return;}void dfs2(int step,int now){    int i;    if (step==n-half+1)    {        reach2[++top2]=now;        return;    }    for (i=1;i<=m;i++)        dfs2(step+1,now+quick(i,part2[step].p)*part2[step].k);    return;}void work(){    int i=1,j=top2,last1,last2;    sort(reach1+1,reach1+1+top1);    sort(reach2+1,reach2+1+top2);    for (i=1;i<=top1;i++)    {        while (reach1[i]+reach2[j]>0&&j>0) j--;        if (j<=0) break;        if (reach1[i]+reach2[j]!=0) continue;        last1=1; last2=1;        while (reach1[i+1]==reach1[i]&&i<top1) { i++; last1++; }        while (reach2[j-1]==reach2[j]&&j>1)  { j--; last2++; }        ans=ans+last1*last2;    }    printf("%d",ans);    return;}int main(){    read();    dfs1(1,0);    dfs2(1,0);    work();    return 0;}