hrbust/哈理工oj 1787 New Fibonacci Number【欧拉降幂+矩阵快速幂】

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定义一种新型的Fibonacii 数列：

 

F[0] = a

F[1] = b

F[i] = F[i-1] * F[i-2] (n > 1)

 

请根据给出的a，b，n，求出F[n]的大小。

Input

多组测试数据，处理到文件结束，对于每组测试数据：

输入三个整数a，b，n（0≤a,b,n≤10^9）

Output对于每组测试数据输出F[n]对1000000007取模后的结果，每组输出占一行。Sample Input

0 1 0

6 10 2

Sample Output

0

60

Author周洲 @hrbust

思路：

枚举一下:

F3=F1^2*F0

F4=F1^3*F0^2

F5=F1^5*F0^3

不难发现，F1和F0的幂是一个斐波那契数列组成的，辣么思路就不难建立了。因为n比较大，所以我们采用矩阵快速幂的方式来求F1和F0的幂分别是多大，其实也就是在求一个斐波那契数列，其递推式不难推出：

矩阵为：

1 1 

1 0

既然知道了矩阵的构建，那么幂的值也能求出，最后一步就是求F1^幂*F0^幂，然后相乘即可。

这里要注意一个点：

 a^n%mod!=a^(n%mod)%mod;

所以我们要使用欧拉降幂的方法来解决这个问题，所求公式为：

其中phi指的是欧拉函数。

这里1e9+7的phi值为1e9+6，一个很常用的值，这里就不使用欧拉函数来写了、

AC代码如下：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<iostream>using namespace std;#define ll long long inttypedef struct Matrix{    ll mat[2][2];}matrix;long long mod;matrix A,B;Matrix matrix_mul(matrix a,matrix b){    matrix c;    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));    int i,j,k;    for(int i=0;i<2;i++)    {        for(int j=0;j<2;j++)        {            for(int k=0;k<2;k++)            {                c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];                c.mat[i][j]%=mod;            }        }    }    return c;}Matrix matrix_quick_power(matrix a,ll k){    matrix b;    memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));    for(int i=0;i<2;i++)    b.mat[i][i]=1;    while(k)    {        if(k%2==1)        {            b=matrix_mul(a,b);            k-=1;        }        else        {            a=matrix_mul(a,a);            k/=2;        }    }    return b;}ll quickmi(ll  a,ll  b){    ll  ans=1;    a%=mod;    while(b>0)    {        if(b%2==1)ans=(ans*a)%mod;        b/=2;        a=(a*a)%mod;    }    return ans;}int main(){    ll a,b,n;    while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n))    {        mod=1e9+6;        A.mat[0][0]=0;A.mat[0][1]=1;        A.mat[1][0]=1;A.mat[1][1]=1;        if(n==0)        {            printf("%lld\n",a);            continue;        }        if(n==1)        {            printf("%lld\n",b);            continue;        }        B=matrix_quick_power(A,n-2);        A.mat[0][0]=1;A.mat[0][1]=1;        A.mat[1][0]=0;A.mat[1][1]=0;        A=matrix_mul(A,B);        mod++;        ll aa=quickmi(a,A.mat[0][0]+mod-1);        ll bb=quickmi(b,A.mat[0][1]+mod-1);        printf("%lld\n",aa*bb%mod);    }}