证明：(0,0)到(x,y)连线上横纵坐标都是正整数的点有gcd(x,y)个

【命题】

平面直角坐标系中(0,0)到(x,y)这条线段上共有gcd(x,y)个点，它的横纵坐标都是正整数

【证明】

设坐标系上有一点A(x,y)

令x=x'gcd(x,y),y'=y'gcd(x,y)

那么直线OA的解析式为y=(y/x)*x，

即y=(y'/x')*x，

现在我们想知道，直线上有多少个点(a,b)，a、b都是正整数？

首先横坐标a要取正整数，那么它的取值范围是a∈[1,x]，b自然而然的取到[1,y]所有的值

现在要使得纵坐标也是正整数，“正”不用说，关键是“整”，那么就要求x'是a的约数

自然而然的就有x/x'=gcd(x,y)个a值，现在问题是还有没有其他符合条件的a

明显地当x’不是a的约数时，(y'/x')*a以后，x'先和a约分，因为gcd(x',y')=1，所以分子不可能再与分母约分

于是，就得到当且仅当a=kx'时，a、b都是正整数，而这样的a有gcd(x,y)个

【结论】

该命题是正确的