62. Unique Paths

题目：

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

题意：

如上图所示，左上的机器人到右下的星星处有多少种不同的走法。

思路：

DP问题。动态规划问题。题意可知一个格子到另一个格子只能向下或者向右。故第一行，第一列到达的唯一路径都只有一种可能，则result[0][j]= result[i][0]=1。而其他格子到达的路径result[i][j] = reesult[i-1][j] + result[i][j-1];

代码：

class Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        vector<vector<int>> result(m, vector<int>(n, 1));                for(int i=1; i<m; i++){            for(int j=1; j<n; j++){                result[i][j] = result[i-1][j] + result[i][j-1];            }        }                return result[m-1][n-1];    }};

上面代码中保存了每个格子对应到达的唯一路径数，题目只要求得到唯一的整数，不需要保存到达每个格子的唯一路径数，故只需要维持两个数组保存向下与向右方向的唯一路径数即可。

代码：

class Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        if(m>n){            return uniquePaths(n, m);        }                vector<int> pre(m, 1);        vector<int> cur(m, 1);                for(int i=1; i<n; i++){            for(int j=1; j<m; j++){                cur[j] = cur[j-1]+pre[j];            }                        swap(pre, cur);        }                return pre[m-1];    }};

还可以进一步缩紧所花费的空间复杂度。不要维持一个pre数组。直接在元素上进行修改。

代码：

class Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        if(m>n){            return uniquePaths(n, m);        }        vector<int> cur(m, 1);                for(int i=1; i<n; i++){            for(int j=1; j<m; j++){                cur[j] += cur[j-1];            }        }                return cur[m-1];    }};

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