最短子数组

问题描述：

　　给定一个数组a和数组长度n，求出需要排序的最短子数组长度，使得该子数组排好序时整个数组有序。

测试样例：

• 输入：a={1,4,6,5,9,10}, n=6
• 输出：2

问题分析：

　　由题意知，我们需要找到一个子数组使得当该子数组排好序时整个数组有序。这就是说原数组可以分为三个部分，即a=pqk，此时我们找到的子数组为q。p和r已经分别有序且p中所有元素小于q中任意一个元素，k中任意一个元素大于q中所有元素。
　　为了做到这点，我们可以简单的枚举出所有的子数组q（长度从小到大），然后按照上面的思路进行验证。当枚举到某个子数组q时，该子数组前面的元素有序且小于q中任意一个元素，需要时间开销：

|p|+|p|×|q|

若对其优化，只用|p|中最大值验证是否小于|q|中元素，需要时间开销为：

|p|+|q|

该子数组后面的元素有序且这些元素中任意一个元素都大于q中所有元素，需要时间开销：

|k|+|q|×|k|

若对其优化，只用|k|中最小值验证是否大于|q|中元素，需要时间开销：

|k|+|q|

则子数组q的长度即为所求，此时每一次处理需要的时间开销大致为:

|q|×(|p|+|k|)=|q|×(n−|q|)

优化后大致为：

|p|+|q|+|k|=n

所以这种方法的时间复杂度是：

∑|q|=1n|q|(n−|q|)2

优化后为:

∑|q|=1nn(n−|q|)=n3−n2(n+1)2

即O(n^3)级别。
　　为了能获得更好的时间开销算法，我们可以对数组进行两次扫描。第一次从左往右扫描找到最大值不变的最后一个位置r（注意扫描时最大值在不断被更正），对于上述测试样例，该策略的处理步骤是：
　　首先最大值是1，r为0；接下来最大值是4，此时最大值改变了，也就是说r不用变；同理最大值是6时r也不变；当扫描到5时由于最大值没有改变，故r更新为3；之后最大值一直在改变，所以r最终等于3。
　　第二次从右往左扫描找到最小值不变的最后一个位置l，对于上述测试样例，l的值为2。所以p={1,4}，q={6,5}，k={9,10}，此时q的长度为2，故返回2。显然这种算法的时间复杂度为O(n)，比第一种枚举策略更高效。
　　下面给出在java代码下的实现：

    int shortestSubsequence(int[] A, int n) {        if(A==null || n<=0)            return 0;        int i, j, l, r;        j = A[0];        r = 0;        for (i = 1; i < n; i++) {            if (A[i] < j)                r = i;            else                j = A[i];        }        if (r == 0)            return 0;        j = A[n - 1];        l = n - 1;        for (i = n - 2; i >= 0; i--) {            if (A[i] > j)                l = i;            else                j = A[i];        }        return r - l + 1;    }