算法17 之拓扑排序

来源：互联网发布：点赞数据库设计编辑：程序博客网时间：2024/06/10 05:48

这一节我们学习一个新的排序算法，准确的来说，应该叫“有向图的拓扑排序”。所谓有向图，就是A->B，但是B不能到A。与无向图的区别是，它的边在邻接矩阵里只有一项（友情提示：如果对图这种数据结构部不太了解的话，可以先看一下这篇博文：数据结构和算法之无向图。因为拓扑排序是基于图这种数据结构的）。

有向图的邻接矩阵如下表所示：

所以针对前面讨论的无向图，邻接矩阵的上下三角是对称的，有一半信息是冗余的。而有向图的邻接矩阵中所有行列之都包含必要的信息，它的上下三角不是对称的。所以对于有向图，增加边的方法只需要一条语句：

[java] view plain copy
 
//有向图中，邻接矩阵中只有一项  
public void addEdge(int start, int end) {  
    adjMat[start][end] = 1;  
}  

如果使用邻接表示意图，那么A->B表示A在它的链表中有B，但是B的链表中不包含A，这里就不多说了，本文主要通过邻接矩阵实现。

因为图是有向的，假设A->B->C->D这种，那这就隐藏了一种顺序，即要想到D，必须先过C，必须先过B，必须先过A。它们无形中形成了一种顺序，这种顺序在实际中还是用的挺广泛的，比如，要做web开发，必须先学java基础等等，这些都遵循一个顺序，所以拓扑排序的思想也是这样，利用有向图特定的顺序进行排序。但是拓扑排序的结果不是唯一的，比如A->B的同时，C->B，也就是说A和C都能到B，所以用算法生成一个拓扑排序时，使用的方法和代码的细节决定了会产生那种拓扑排序。

拓扑排序的思想虽然不寻常，但是却很简单，有两个必要的步骤：

1. 找到一个没有后继的顶点；

2.从图中删除这个顶点，在列表中插入顶点的标记

然后重复1和2，直到所有顶点都从图中删除，这时候列表显示的顶点顺序就是拓扑排序的结果了。

但是我们需要考虑一种特殊的有向图：环。即A->B->C->D->A。这种必然会导致找不着“没有后继的节点”，这样便无法使用拓扑排序了。

下面我们分析下拓扑排序的代码：

[java] view plain copy
 
public void poto() {  
    int orig_nVerts = nVerts; //记录有多少个顶点  
    while(nVerts > 0) {  
        //返回没有后继顶点的顶点  
        int currentVertex = noSuccessors(); //如果不存在这样的顶点，返回-1  
        if(currentVertex == -1) {  
            System.out.println("ERROR: Graph has cycles!");  
            return;  
        }  
          
        //sortedArray中存储排过序的顶点（从尾开始存）  
        sortedArray[nVerts-1] = vertexArray[currentVertex].label;  
        deleteVertex(currentVertex);//删除该顶点，便于下一次循环，寻找下一个没有后继顶点的顶点  
    }  
    System.out.println("Topologically sorted order:");  
    for(int i = 0; i < orig_nVerts; i++) {  
        System.out.print(sortedArray[i]);  
    }  
    System.out.println("");  
}  

主要的工作在while循环中进行，这个循环直到定点数为0时才退出：
1. 调用noSuccessors()找到任意一个没有后继的顶点；

2. 如果找到一个这样的顶点，把顶点放到sortedArray数组中，并且从图中删除这个顶点；

3. 如果不存在这样的顶点，则图必然存在环。

最后sortedArray数组中存储的就是排过序的顶点了。下面我们分析下noSuccessor()方法和deleteVertes()方法：

[java] view plain copy
 
//return vertex with no successors  
private int noSuccessors() {  
    boolean isEdge;  
    for(int row = 0; row < nVerts; row++) {  
        isEdge = false;  
        for(int col = 0; col < nVerts; col++) {  
            if(adjMat[row][col] > 0) { //只要adjMat数组中存储了1，表示row->col  
                isEdge = true;  
                break;  
            }  
        }  
        if(!isEdge) {//只要有边，返回最后一个顶点  
            return row;  
        }  
    }  
    return -1;  
}  
  
private void deleteVertex(int delVertex) {  
    if(delVertex != nVerts -1) {  
        for(int i = delVertex; i < nVerts-1; i++) { //delete from vertexArray  
            vertexArray[i] = vertexArray[i+1];  
        }  
        //删除adjMat中相应的边  
        for(int row = delVertex; row < nVerts-1; row++) {//delete row from adjMat  
            moveRowUp(row, nVerts);  
        }  
          
        for(int col = delVertex; col < nVerts-1; col++) {//delete column from adjMat  
            moveColLeft(col, nVerts-1);  
        }  
    }  
    nVerts--;  
}  

从上面代码可以看出，删除一个顶点很简单，从vertexArray中删除，后面的顶点向前移动填补空位。同样的，顶点的行列从邻接矩阵中删除，下面的行和右面的列移动来填补空位。删除adjMat数组中的边比较简单，下面看看moveRowUp和moveColLeft的方法：

[java] view plain copy
 
private void moveRowUp(int row, int length) {  
    for(int col = 0; col < length; col++) {  
        adjMat[row][col] = adjMat[row+1][col];  
    }  
}  
  
private void moveColLeft(int col, int length) {  
    for(int row = 0; row < length; row++) {  
        adjMat[row][col] = adjMat[row][col+1];  
    }  
}  

这样便介绍完了拓扑排序的所有过程了。下面附上完整的代码：

[java] view plain copy
 
package graph;  
/** 
 * 有向图的拓扑排序： 
 * 拓扑排序是可以用图模拟的另一种操作，它可以用于表示一种情况，即某些项目或事件必须按特定的顺序排列或发生。 
 * 有向图和无向图的区别是：有向图的边在邻接矩阵中只有一项。 
 * 拓扑排序算法的思想虽然不寻常但是很简单，有两个步骤是必须的： 
 * 1. 找到一个没有后继的顶点 
 * 2. 从图中删除这个顶点，在列表的前面插入顶点的标记 
 * 重复这两个步骤，直到所有顶点都从图中删除，这时，列表显示的顶点顺序就是拓扑排序的结果。 
 * 删除顶点似乎是一个极端的步骤，但是它是算法的核心，如果第一个顶点不处理，算法就不能计算出要处理的第二个顶点。 
 * 如果需要，可以再其他地方存储图的数据(顶点列表或者邻接矩阵)，然后在排序完成后恢复它们。 
 * @author eson_15 
 * @date 2016-4-20 12:16:11 
 *  
 */  
public class TopoSorted {  
    private final int MAX_VERTS = 20;  
    private Vertex vertexArray[]; //存储顶点的数组  
    private int adjMat[][]; //存储是否有边界的矩阵数组, 0表示没有边界，1表示有边界  
    private int nVerts; //顶点个数  
    private char sortedArray[]; //存储排过序的数据的数组  
      
    public TopoSorted() {  
        vertexArray = new Vertex[MAX_VERTS];  
        adjMat = new int[MAX_VERTS][MAX_VERTS];  
        nVerts = 0;  
        for(int i = 0; i < MAX_VERTS; i++) {  
            for(int j = 0; j < MAX_VERTS; j++) {  
                adjMat[i][j] = 0;  
            }  
        }  
        sortedArray = new char[MAX_VERTS];  
    }  
      
    public void addVertex(char lab) {  
        vertexArray[nVerts++] = new Vertex(lab);  
    }  
      
    //有向图中，邻接矩阵中只有一项  
    public void addEdge(int start, int end) {  
        adjMat[start][end] = 1;  
    }  
      
    public void displayVertex(int v) {  
        System.out.print(vertexArray[v].label);  
    }  
      
    /* 
     * 拓扑排序 
     */  
    public void poto() {  
        int orig_nVerts = nVerts; //remember how many verts  
        while(nVerts > 0) {  
            //get a vertex with no successors or -1  
            int currentVertex = noSuccessors();  
            if(currentVertex == -1) {  
                System.out.println("ERROR: Graph has cycles!");  
                return;  
            }  
              
            //insert vertex label in sortedArray (start at end)  
            sortedArray[nVerts-1] = vertexArray[currentVertex].label;  
            deleteVertex(currentVertex);  
        }  
        System.out.println("Topologically sorted order:");  
        for(int i = 0; i < orig_nVerts; i++) {  
            System.out.print(sortedArray[i]);  
        }  
        System.out.println("");  
    }  
  
    //return vertex with no successors  
    private int noSuccessors() {  
        boolean isEdge;  
        for(int row = 0; row < nVerts; row++) {  
            isEdge = false;  
            for(int col = 0; col < nVerts; col++) {  
                if(adjMat[row][col] > 0) {  
                    isEdge = true;  
                    break;  
                }  
            }  
            if(!isEdge) {  
                return row;  
            }  
        }  
        return -1;  
    }  
  
    private void deleteVertex(int delVertex) {  
        if(delVertex != nVerts -1) {  
            for(int i = delVertex; i < nVerts-1; i++) { //delete from vertexArray  
                vertexArray[i] = vertexArray[i+1];  
            }  
              
            for(int row = delVertex; row < nVerts-1; row++) {//delete row from adjMat  
                moveRowUp(row, nVerts);  
            }  
              
            for(int col = delVertex; col < nVerts-1; col++) {//delete column from adjMat  
                moveColLeft(col, nVerts-1);  
            }  
        }  
        nVerts--;  
    }  
  
    private void moveRowUp(int row, int length) {  
        for(int col = 0; col < length; col++) {  
            adjMat[row][col] = adjMat[row+1][col];  
        }  
    }  
  
    private void moveColLeft(int col, int length) {  
        for(int row = 0; row < length; row++) {  
            adjMat[row][col] = adjMat[row][col+1];  
        }  
    }  
}  

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