算法笔记——【动态规划】最大子段和问题

    1、最大子段和问题

     问题定义：对于给定序列a1,a2,a3……an,寻找它的某个连续子段，使得其和最大。如( -2,11,-4,13,-5,-2 )最大子段是{ 11,-4,13 }其和为20。

     (1)枚举法求解

     枚举法思路如下：

     以a[0]开始: {a[0]}, {a[0],a[1]},{a[0],a[1],a[2]}……{a[0],a[1],……a[n]}共n个

     以a[1]开始: {a[1]}, {a[1],a[2]},{a[1],a[2],a[3]}……{a[1],a[2],……a[n]}共n-1个

     ……

     以a[n]开始:{a[n]}共1个

     一共(n+1)*n/2个连续子段，使用枚举，那么应该可以得到以下算法：
     具体代码如下：

[cpp] view plain copy

1. //3d4-1 最大子段和问题的简单算法  
2. #include "stdafx.h"  
3. #include <iostream>   
4. using namespace std;   
5.   
6. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);  
7.   
8. int main()  
9. {  
10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
11.   
12.     for(int i=0; i<6; i++)  
13.     {  
14.         cout<<a[i]<<" ";  
15.     }  
16.   
17.     int besti,bestj;  
18.   
19.     cout<<endl;  
20.     cout<<"数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;  
21.   
22.     return 0;  
23. }  
24.   
25. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)  
26. {     
27.     int sum = 0;  
28.     for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项  
29.     {  
30.         for(int j=i; j<n; j++)//控制求和结束项  
31.         {  
32.             int thissum = 0;  
33.             for(int k=i; k<=j; k++)//求和  
34.             {  
35.                 thissum += a[k];  
36.             }  
37.   
38.             if(thissum>sum)//求最大子段和  
39.             {  
40.                 sum = thissum;  
41.                 besti = i;  
42.                 bestj = j;  
43.             }  
44.         }  
45.     }  
46.     return sum;  
47. }  

            从这个算法的三个for循环可以看出，它所需要的计算时间是O(n^3)。事实上，如果注意到，则可将算法中的最后一个for循环省去，避免重复计算，从而使算法得以改进。改进后的代码如下：

[cpp] view plain copy

1. //3d4-2 最大子段和问题的避免重复的简单算法  
2. #include "stdafx.h"  
3. #include <iostream>   
4. using namespace std;   
5.   
6. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);  
7.   
8. int main()  
9. {  
10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
11.   
12.     for(int i=0; i<6; i++)  
13.     {  
14.         cout<<a[i]<<" ";  
15.     }  
16.   
17.     int besti,bestj;  
18.   
19.     cout<<endl;  
20.     cout<<"数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;  
21.   
22.     return 0;  
23. }  
24.   
25. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)  
26. {     
27.     int sum = 0;  
28.     for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项  
29.     {  
30.         int thissum = 0;  
31.         for(int j=i; j<=n; j++)//控制求和结束项  
32.         {  
33.             thissum += a[j];//求和  
34.             if(thissum>sum)  
35.             {  
36.                 sum = thissum;  
37.                 besti = i;  
38.                 bestj = j;  
39.             }  
40.               
41.         }  
42.     }  
43.     return sum;  
44. }  

     (2)分治法求解

       分治法思路如下：

    将序列a[1:n]分成长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大字段和，则a[1:n]的最大子段和有三中情形：

    [1]、a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同； 

       [2]、a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；

    [3]、a[1:n]的最大字段和为，且1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n。

    可用递归方法求得情形[1],[2]。对于情形[3],可以看出a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中。因此可以在a[1:n/2]中计算出，并在a[n/2+1:n]中计算出。则s1+s2即为出现情形[3]时的最优值。

     具体代码如下：

[cpp] view plain copy

1. //3d4-1 最大子段和问题的分治算法  
2. #include "stdafx.h"  
3. #include <iostream>   
4. using namespace std;   
5.   
6. int MaxSubSum(int *a,int left,int right);  
7. int MaxSum(int n,int *a);  
8.   
9. int main()  
10. {  
11.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
12.   
13.     for(int i=0; i<6; i++)  
14.     {  
15.         cout<<a[i]<<" ";  
16.     }  
17.   
18.     cout<<endl;  
19.     cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl;  
20.   
21.     return 0;  
22. }  
23.   
24. int MaxSubSum(int *a,int left,int right)  
25. {     
26.     int sum = 0;  
27.     if(left == right)  
28.     {  
29.         sum = a[left]>0?a[left]:0;  
30.     }  
31.     else  
32.     {  
33.         int center = (left+right)/2;  
34.         int leftsum = MaxSubSum(a,left,center);  
35.         int rightsum = MaxSubSum(a,center+1,right);  
36.   
37.         int s1 = 0;  
38.         int lefts = 0;  
39.         for(int i=center; i>=left;i--)  
40.         {  
41.             lefts += a[i];  
42.             if(lefts>s1)  
43.             {  
44.                 s1=lefts;  
45.             }  
46.         }  
47.   
48.         int s2 = 0;  
49.         int rights = 0;  
50.         for(int i=center+1; i<=right;i++)  
51.         {  
52.             rights += a[i];  
53.             if(rights>s2)  
54.             {  
55.                 s2=rights;  
56.             }  
57.         }  
58.         sum = s1+s2;  
59.         if(sum<leftsum)  
60.         {  
61.             sum = leftsum;  
62.         }  
63.         if(sum<rightsum)  
64.         {  
65.             sum = rightsum;  
66.         }  
67.   
68.     }  
69.     return sum;  
70. }  
71.   
72. int MaxSum(int n,int *a)  
73. {  
74.     return MaxSubSum(a,0,n-1);  
75. }  

     算法所需的计算时间T(n)满足一下递归式：

     解此递归方程可知：T(n)=O(nlogn)。

     (3)动态规划算法求解

    算法思路如下：

    记，则所求的最大子段和为：

    由b[j]的定义知，当b[j-1]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。由此可得b[j]的动态规划递推式如下：

     b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n。

     具体代码如下：

[cpp] view plain copy

1. //3d4-1 最大子段和问题的动态规划算法  
2. #include "stdafx.h"  
3. #include <iostream>   
4. using namespace std;   
5.   
6. int MaxSum(int n,int *a);  
7.   
8. int main()  
9. {  
10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
11.   
12.     for(int i=0; i<6; i++)  
13.     {  
14.         cout<<a[i]<<" ";  
15.     }  
16.   
17.     cout<<endl;  
18.     cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl;  
19.   
20.     return 0;  
21. }  
22.   
23. int MaxSum(int n,int *a)  
24. {  
25.     int sum=0,b=0;  
26.     for(int i=1; i<=n; i++)  
27.     {  
28.         if(b>0)  
29.         {  
30.             b+=a[i];  
31.         }  
32.         else  
33.         {  
34.             b=a[i];  
35.         }  
36.         if(b>sum)  
37.         {  
38.             sum = b;  
39.         }  
40.     }  
41.     return sum;  
42. }  

     上述算法的时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。