常系数线性递推式的快速求单项值方法

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前导知识

• 常系数线性递推式
  
  • 形如f(n)=∑ki=1aif(n−i)，其中k、ai为常数的递推式，称为常系数线性递推式。
• Cayley-Hamilton定理
  
  • 对于矩阵A，det(λE−A)是一个|A|次多项式，称为A的特征多项式（characteristic polynomial），记为g(λ)。
  • 对于任意矩阵A，g(A)=0。
  • 证明参见任何一本高等代数教科书。
• 模多项式
  
  • 设f是n次多项式，g是m次多项式。
  • 存在多项式k、l，满足kg+l=f，且l的次数小于m。
  • 称l为f模g的余多项式。
  • 证明参见任何一本高等代数教科书。

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正文

设有递推式f(n)=∑ki=1aif(n−i)，我们需要求f(m)。

通常而言，我们是构建一个k阶的矩阵A，称A为递推式的伴随矩阵（adjoint matrix）；构建一个向量T，其中T1,i=f(i)，而(TAm−k)1,1就是f(m)的值。构建A和T都是平凡的，这里不再赘述。

那么问题转化为求(TAp)1,1的值，而主要的瓶颈在于求Ap的值。

设Ap=kg(A)+l，其中l为Ap模g(A)的余多项式。容易发现g(λ)=λ|A|−∑|A|i=1aiλ|A|−i。由Cayley-Hamilton定理，g(A)=0，于是我们只需要关注l，也就是说我们只需要求出Ap模g(A)。这是简单的快速幂模多项式，使用FFT可以在O(|A|log|A|logp)的时间内完成它。

最终我们得到Ap=∑|A|−1i=0biAi。注意到我们现在仅关心[T(∑|A|−1i=0biAi)]1,1，而对于|A|−1≥i≥0，(TAi)1,1都直接表示f(i+1)的值，这也就是递推的初值，于是答案就是∑|A|−1i=0bif(i+1)。

总时间复杂度为O(klogklogm)。