二分查找算法

二分查找算法总结

• 典型的二分查找
• 复杂度低的二分
• 例子

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典型的二分查找

给一个已经排序的已知的数组A[N],在最短的时间内找到其中的一个元素。下面给出最典型的二分查找算法。

int BinarySearch(int A[],int l,int r,int key){    int m;    while( l <= r ){        m = ( l + r ) / 2;        if( A[m] == key )  // 第一次比较            return m;        if( A[m] < key )   // 第二次比较            l = l + 1;        else            m = m - 1;    }    return -1;   // 为查找到该元素返回-1}

理论上，我们最多需要 logN+1 次比较。仔细观察，我们在每次迭代中使用两次比较，除了最后比较成功的一次。实际应用上，比较也是代价高昂的操作，往往不是简单的数据类型的比较。减少比较的次数也是优化的方向之一。

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减少复杂度的二分

下面是一个比较次数更少的实现：
需要注意的，要保证我们恒等式（A[l] <= key & A[r] > key）正确，后面还会用到循环不变式。

// 循环不变式： A[l] <= key &  A[r] > key// 边界: |r - l| = 1// 输入: A[l .... r-1]int BinarySearch(int A[],int l,int r,int key){    int m;    while( r - l > 1 ){        if( A[m] <= key )            l = m ;        else            r = m ;    }    if( A[l] == key )        return l ;    else        return -1 ;}

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例子描述

给一个有N个互不相同的元素的已排序数组，返回小于或等于给定key的最大元素。 例如输入为 A = {-1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} key = 7,应该返回6.

分析：

我们可以用上面的优化方案，还是保持一个恒等式，然后移动 左右两个指针。最终 left指针会指向 小于或等于给定key的最大元素(根据恒等式A[l] <= key and A[r] > key)。

• 如果数组中所有元素都小于key，左边的指针left 会一直移动到最后一个元素。

• 如果数组中所有元素都大于key，这是一个错误条件，无答案。

• 如果数组中的所有元素都 <= key，这是最坏的情况根据下面的实现

// 循环不变式: A[l] <= key and A[r] > key// 边界条件: |r - l| = 1// 输入: A[l .... r-1]// 先决条件: A[l] <= key <= A[r]int Floor(int A[], int l, int r, int key){    int m;    while( r - l > 1 )    {        m = l + (r - l)/2;        if( A[m] <= key )            l = m;        else            r = m;    }    return A[l];  // A[l]即是小于或等于key的最大元素}// 初始调用int Floor(int A[], int size, int key){    // 如果 key < A[0] 不符合条件    if( key < A[0] )        return -1;    return Floor(A, 0, size, key);}