隐马尔可夫模型Hidden Markov Model（1）

来源：互联网发布：淘宝卖家怎么合并发货编辑：程序博客网时间：2024/06/06 00:53

隐马尔可夫模型

本文只求说得明白易懂，有些叙述可能不够严格。严格的数学描述，请参阅相关教材或者专著。

1. Markov性质

1.1 定义

一个系统，从系统中可以取得一个随机变量序列。该随机变量所有可能的取值的集合，组成 状态空间。

假设所取得的序列为
{X1,X2,…,Xn}(1)
那么, 如下公式成立：

P (X n + 1 = s n + 1 | X 1 = s 1, \dots, X n = s n) = P (X n + 1 = s n + 1 | X n = s n) (2)

即，随机序列中的下一个状态分布，只与当前的状态有关，而与以前的状态无关。这种性质称为马尔可夫性。具备Markov性质的离散随机过程，称为Markov链。

具有马尔可夫性质的随机序列，从前一个状态转移到下一个状态的概率分布是确定的。所以，每个Markov链都会伴随一个状态转移矩阵。

1.2 举例

虽然在理论上的定义很简洁，但是在实际生活中，很难找到一个完全符合马尔可夫性的实例。下面我们尝试举两个例子，以方便理解。

一些宗教流派认为，生命可以通过“转世”，一直在世间永恒存在。生命在世间有多种存在形式，比如猪、狗、植物、细菌、人等。生命在“来世”到底变成哪种生物，有一定概率，且这个概率只与“现世”的生命形式有关。假如我们将生命的形式简化为动物、植物、人 三类，那么该系统的状态空间为

$S = {动物, 植物, 人} (a)$
生命在世间的存在形式形成一个“转世序列”——马尔可夫链。不同生命形式间的转化，会有一个概率，形成一个概率矩阵：
$A = ⎡ ⎣ ⎢ 0.3 0.5 0.2 0.2 0.4 0.4 0.5 0.1 0.4 ⎤ ⎦ ⎥ (a)$
其中，aij 表示状态空间中第i个状态向第j个状态转化的概率。例如，植物向人类转化的概率，只有0.1。
掷色子也是具有马尔可夫性的，因为其每次掷色子都是相互独立的，当然也符合无后效性。其状态转移矩阵为：

$⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (a)$
对于确定的状态跃迁模型，也可以用状态转移矩阵予以描述。例如，红绿灯，状态迁移总是遵循如下规则：红–>绿–>黄–>红。假设状态集合按红绿黄排列，则迁移矩阵为：
$⎡ ⎣ ⎢ 001100010 ⎤ ⎦ ⎥ (a)$

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