核范数以及低秩RPCA

0范数是指矩阵非零元素的个数
1范数是矩阵所有元素绝对值的和
2范数对应欧式距离
无穷范数对应矩阵所有元素绝对值中最大的那个值
核范数||W||*是指矩阵奇异值的和，英文称呼叫Nuclear Norm

核范数可以约束低秩，而低秩的应用范围较广
 
   PCA，这种方法可以有效的找出数据中最主要的元素和结构，去除噪声和冗余，将原有复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。我们知道，最简单的主成分分析方法就是PCA，从线性代数的角度看，PCa的目标就是使用另外一组基去重新描述得到的数据空间，希望在这个新的基下，能尽量揭示原有的数据间的关系。这个维度即最重要的“”主元。PCA的目标就是找到这样的主元，最大程度的去除冗余和噪音的干扰。
    PRCA考虑的是这样一个问题，一般我们的数据矩阵会包含结构信息，也包含噪声，那么我们可以将这个矩阵分解为两个矩阵相加，一个是低秩（由于内部包含有一定的结构信息，造成各行或各列间是线性相关的），另一个是稀疏的（由于含有噪声，而噪声是稀疏的）
    与PCA一样，RPCA本质上也是寻找数据在低维空间上的最佳投影问题。对于低秩数据观测矩阵X，假设X受到随机（稀疏）噪声的影响，那么X的低秩性就会被破坏，使得X变成满秩。所以我们就需要将X分解成包含其真实结构的低秩矩阵和稀疏噪声矩阵之和。找到了低秩矩阵，实际上就找到了数据的本质低维空间，那么有了PCA，为什么还有RPCA，因为PCA假设我们的数据噪声是高斯的，对于大的噪声或者严重的离群点，PCA会被其影响，导致无法正常工作。而RPCA则不存在这个假设。它只是假设噪声是稀疏的，而不管噪声的强弱如何。


RPCA与矩阵秩

如果X是一个m行n列的数值矩阵，rank(X)是X的秩，假如rank (X)远小于m和n，则我们称X是低秩矩阵。低秩矩阵每行或每列都可以用其他的行或列线性表出，可见它包含大量的冗余信息。利用这种冗余信息，可以对缺失数据进行恢复，也可以对数据进行特征提取。

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