算法复习1：算法概述

问题一：什么是算法（Algorithm)

    算法是指解决问题的方法或过程，是若干指令的有穷序列。

    满足下列四条性质：

-输入：有零个或多个由外部提供的量作为算法的输入；

-输出：产生至少一个量作为输出；

-确定性：组成算法的每条指令是清晰的、无歧义的；

-有限性：每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的

问题二：什么是程序（Program）

    程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。（注：程序执行时不一定是有限的，例如操作系统）

问题三：求解问题的基本步骤

问题四：算法复杂性分析

1、 算法复杂性：算法运行所需要的计算机资源的量

          -时间复杂性：需要时间资源的量

          -空间复杂性：需要空间资源的量

2、算法复杂性C采用一种与算法外部因素无关的测量方法，只依赖于问题规模N、输入I以及算法A本身。分别用T和S来表示时间复杂性和空间复杂性

       T = T(N, I, A)

       通常，A隐含在复杂性函数名当中，因此可简化为：

       T = T(N, I)

       只考虑某类有代表性的输入实例，因此可进一步简化为：

       最好情况下Tmin(N)，最坏情况下Tmax(N)，平均情况下Tavg(N)，如果算法的时间复杂性不依赖输入实例，则简化为T(N)

3、实践表明，可操作性最好且最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性。

问题五：算法复杂性渐进性态

1、设T(N)是关于算法A的复杂性函数，如果存在t(N)，使得当N趋于无穷大时有(T(N) -t(N))/ T(N)趋于0，则t(N)是T(N)当n趋于无穷大时的渐近表达式，或称t(N)是算法A当N趋于无穷大的渐近复杂性。

    得到t(N)的方式：

1）略去低阶项，留下主项；

2）略去常数因子。

2、上界记号O：O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n >=n0有：0<=f(n) <=cg(n) }
               –f(n)当n充分大时上有界，且g(n)是它的一个上界。f(n)的阶不高于g(n)的阶。

      下界记号类似

问题六：N、NP、NPC

•P（Polynomial）类问题是确定性图灵机模型下可在多项式时间内解决的问题类。
•NP（Nondeterministic Polynomial）类问题是非确定性图灵机模型下可在多项式时间内验证的问题类。

•NPC(NP-Complete，NP完全)问题
–规约：令Π和Π′是两个判定性问题，如果存在一个确定性算法A ，可以用多项式时间把问题Π′的实例I′转换为问题Π的实例I，使得I′的答案为yes 当且仅当I的答案是yes，则称Π′以多项式时间归约于Π，记为Π′∝pΠ 。
–令Π是一个判定性问题，如果：
(1) Π∈NP ，并且
(2) 对NP中的所有问题Π′∈NP ，都有Π′∝pΠ ，则称
问题Π是NP 完全的。

•NP-hard问题（NP难问题）
–令Π是一个判定性问题，如果对NP 中的每一个问题Π′∈NP ，有Π′∝pΠ ，就说判定问题Π是一个NP难题。
–Π′不一定在NP类中。

附1：算法分析的步骤

1、确定用来表示问题规模的变量；

2、确定算法的基本操作；

3、如果函数依赖输入实例，则分情况考虑最坏情况、最好情况、平均情况下的基本操作执行次数函数（运行时间函数）；

4、只考虑问题的规模充分大时函数的阶，用渐近符号表示。

附2：常见的时间复杂性

•1 ：几乎不存在
•logn：不能考虑全部输入
•n：遍历、扫描全部输入
•nlogn：许多分治算法
•n2：两层循环
•n3：三层循环
•2n：一个集合的所有子集
•n! ：一个集合中的元素的所有排列

附3：从算法运行时间上可把算法分为两类
                  –多项式时间算法(polynomial time algorithm)          “易”解问题
                     •用多项式对运行时间限界的算法
                     •O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)
                  –指数时间算法(exponential time algorithm)              “难”问题
                     •用指数函数对运行时间限界的算法
                     •O(2n)<O(n!)<O(nn)