矩阵手册（六）—— Cauchy–Schwarz 不等式及其证明

1. Cauchy–Schwarz 不等式

|⟨u,v⟩|≤∥u∥∥v∥

2. 证明

v=0 或 ⟨u,v⟩=0 时，等式成立，然后排除这两种情况，记 u 到 v 的投影向量为 uv，则：

uv=⟨u,v⟩v⟨v,v⟩

或者这样理解，向量=方向&长度，u 在 v 上的投影长度为 ∥u∥cosθ，而方向是向量 v 的方向，即 v∥v∥，所以 uv=∥u∥cosθv∥v∥，然后分子分母同时乘以 ∥v∥ 得 uv=⟨u,v⟩v⟨v,v⟩

记 z=u−uv=u−⟨u,v⟩v⟨v,v⟩ 必然正交于 v，

u=uv+z⇓∥u∥2=∥⟨u,v⟩∥2∥v∥2+∥z∥2≥∥⟨u,v⟩∥2∥v∥2

得证。

3. 柯西不等式的其他形式

(∑ia2i)(∑ib2i)≥(∑iaibi)2

这里提供一个新的证明思路，构造函数法。

f(x)=∑ia2ix2−2∑iaibix+∑ib2i=∑i(aix−bi)2≥0

所以其判别式恒小于等于0，也即：

4(∑iaibi)2≤4∑ia2i∑ib2i

References

[1] Cauchy–Schwarz inequality
[2] 矩阵手册（五）—— 内积