Schwarz不等式 三角不等式

内积

定义

∀x,y∈Rn,⟨x,y⟩=∑ni=1xiyi

性质

∀x,y∈Rn,λ,μ∈R,
1. 正定性 ⟨x,x⟩≥0,⟨x,x⟩=0⇔x=0⃗ 
2. 对称性 ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩
3. 线性性 ⟨λx+μy,z⟩=λ⟨x,z⟩+μ⟨y,z⟩
4. Schwarz不等式 ⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩

Schwarz不等式

⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩

证明：

(1) x=0⃗  时， 不等式显然成立。
(2) x≠0⃗  时：
∀λ∈R,⟨λx+y,λx+y⟩=λ2⟨x,x⟩+2λ⟨x,y⟩+⟨y,y⟩≥0
⇒4⟨x,y⟩2−4⟨x,x⟩⟨y,y⟩≤0
⇒⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩
等式成立 ⇔⟨λx+y,λx+y⟩=0 有解 ⇔λx+y=0⃗  有解 ⇔y 可由x 线性表示。

由(1), (2) 得， 等式成立 ⇔x 与 y线性相关。

距离

定义

∀x,y∈Rn,|x−y|=⟨x−y,x−y⟩−−−−−−−−−−−√
||x||=⟨x,x⟩−−−−−√

性质

∀x,y,z∈Rn,
1. 正定性 |x−y|≥0,|x−y|=0⇔x=y
2. 对称性 |x−y|=|y−x|
3. 三角不等式 |x−z|≤|x−y|+|y−z|

三角不等式

∀x,y,z∈Rn,|x−z|≤|x−y|+|y−z|

证明：

令 a=x−y,b=y−z, 则不等式
⇔|a+b|≤||a||+|b||
⇔⟨a+b,a+b⟩−−−−−−−−−−−√≤⟨a,a⟩−−−−−√+⟨b,b⟩−−−−−√
⟨a,a⟩+2⟨a,b⟩+⟨b,b⟩≤⟨a,a⟩+2⟨a,a⟩⟨b,b⟩−−−−−−−−−√+⟨b,b⟩
⇔⟨a,b⟩≤⟨a,a⟩⟨b,b⟩−−−−−−−−−√
等号成立 ⇔x−y 与 y−z 线性相关

推论

推论一

∀x,y,z∈Rn,||x−z|−|y−z||≤|x−y|

证明：

−|x−y|≤|x−z|−|y−z|≤|x−y|

推论二

∀x,y,z∈R,∣∣x21+x22−−−−−−√−y21+y22−−−−−−√∣∣≤(x1−y1)2+(x2−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤|x1−y1|+|x2−y2|

证明：

令 x=(x1x2),y=(y1y2),z=(00), 则 x−y=(x1−y1x2−y2),
由推论1可得 ∣∣x21+x22−−−−−−√−y21+y22−−−−−−√∣∣≤(x1−y1)2+(x2−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√
令 x=(0x2−y2),y=(−(x1−y1)x2−y2),z=(−(x1−y1)0), 则 x−y=(x1−y10),y−z=(0x2−y2),x−z=(x1−y1x2−y2),
由三角不等式可得：(x1−y1)2+(x2−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤|x1−y1|+|x2−y2|