网络流二十四题之十六 —— 数字梯形问题（DIGIT）

数字梯形问题

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Description

给定一个由 n 行数字组成的数字梯形如下图所示。

梯形的第一行有 m 个数字。
从梯形的顶部的 m 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶
至底的路径。
规则1：从梯形的顶至底的 m 条路径互不相交。
规则2：从梯形的顶至底的 m 条路径仅在数字结点处相交。
规则3：从梯形的顶至底的 m 条路径允许在数字结点相交或边相交。

对于给定的数字梯形，分别按照规则1，规则2，和规则3 计算出从梯形的顶至底的 m条路径，使这 m 条路径经过的数字总和最大。

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Input

第 1 行中有 2 个正整数 m 和 n（m,n<=20），分别表示数字梯形的第一行有 m 个数字，共有 n 行。
接下来的 n 行是数字梯形中各行的数字。
第 1 行有 m 个数字，第 2 行有 m+1 个数字，…。

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Output

将按照规则1，规则2，和规则3计算出的最大数字总和输出。
每行一个最大总和。

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Sample Input

2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1

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Sample Output

66
75
77

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Solution

很简单的费用流题目——只要拆点就可以了。

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Code

[cpp]

1. #include <iostream>  
2. #include <cstdio>  
3. #include <queue>  
4. #include <cstring>  
5.   
6. #define PLA(x,y) PLA[(x)][(y)]  
7. #define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))  
8. #define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))  
9. #define ANOTHER 2000  
10. #define INF 0x3f3f3f3f  
11. #define ss 0    
12. #define tt 5000  
13.   
14. using namespace std;  
15.   
16. int n,m,tmp,ans,cnt;  
17.   
18. int maps[100][100];  
19. int f[100][100];  
20. int head[10010],nxt[1000100],wei[1000100],flow[1000100],data[1000100];  
21. int PLA[1000][1000];  
22. int dis[10010];  
23. int pre[10010];  
24. bool in_stack[10010];   
25. queue<int>q;  
26.   
27. void add(int x,int y,int a,int b){  
28.     nxt[cnt]=head[x];data[cnt]=y;wei[cnt]=b;flow[cnt]=a;head[x]=cnt++;      
29.     nxt[cnt]=head[y];data[cnt]=x;wei[cnt]=-b;flow[cnt]=0;head[y]=cnt++;   
30. }  
31.   
32. bool BFS(){  
33.     memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[ss]=0;in_stack[ss]=true;q.push(ss);pre[ss]=pre[tt]=-1;  
34.     while(!q.empty()){  
35.         int now=q.front();  
36.         q.pop();  
37.         in_stack[now]=false;  
38.         for(int i=head[now];i!=-1;i=nxt[i]){  
39.             if(flow[i]!=0&&dis[data[i]]>dis[now]+wei[i]){  
40.                 dis[data[i]]=dis[now]+wei[i];  
41.                 pre[data[i]]=i^1;  
42.                 if(!in_stack[data[i]]){  
43.                     in_stack[data[i]]=true;  
44.                     q.push(data[i]);  
45.                 }  
46.             }  
47.         }  
48.     }  
49.     return pre[tt]!=-1;  
50. }  
51.   
52. void dfs(){  
53.     int Low=INF;  
54.     for(int i=pre[tt];i!=-1;i=pre[data[i]])Low=Min(Low,flow[i^1]);  
55.     for(int i=pre[tt];i!=-1;i=pre[data[i]])flow[i^1]-=Low,flow[i]+=Low;   
56.     ans+=Low*dis[tt];  
57. }  
58.   
59. int main(){  
60.       
61.     freopen(”digit.in”,“r”,stdin);  
62.     freopen(”digit.out”,“w”,stdout);  
63.       
64.     memset(head,-1,sizeof head);  
65.       
66.     scanf(”%d%d”,&m,&n);tmp=m;  
67.       
68.     int tot=0;   
69.     for(int i=1;i<=n;i++,tmp++)  
70.         for(int j=1;j<=tmp;j++)  
71.             PLA[i][j]=++tot;  
72.     tmp=m;  
73.     for(int i=1;i<=n;i++,tmp++)  
74.         for(int j=1;j<=tmp;j++){  
75.             scanf(”%d”,&maps[i][j]);  
76.             if(i!=n){  
77.                 add(PLA(i,j),PLA(i+1,j)+ANOTHER,1,0);  
78.                 add(PLA(i,j),PLA(i+1,j+1)+ANOTHER,1,0);  
79.             }  
80.         }  
81.           
82.     for(int i=1;i<=n+m-1;i++)add(PLA(n,i),tt,1,0);  
83.     for(int i=1;i<=m;i++)add(ss,PLA(1,i)+ANOTHER,1,0);  
84.       
85.     tmp=m;  
86.     for(int i=1;i<=n;i++,tmp++)  
87.         for(int j=1;j<=tmp;j++)  
88.             add(PLA(i,j)+ANOTHER,PLA(i,j),1,-maps[i][j]);  
89.       
90.     while(BFS())dfs();  
91.     printf(”%d\n”,-ans);   
92.       
93.     memset(head,-1,sizeof head);  
94.     cnt=0;  
95.       
96.     for(int i=1;i<=m;i++)add(ss,PLA(1,i),1,0);  
97.     for(int i=1;i<=n+m-1;i++)add(PLA(n,i),tt,INF,-maps[n][i]);  
98.       
99.     tmp=m;  
100.     for(int i=1;i<=n;i++,tmp++)  
101.         for(int j=1;j<=tmp;j++){  
102.             if(i!=n){  
103.                 add(PLA(i,j),PLA(i+1,j),1,-maps[i][j]);  
104.                 add(PLA(i,j),PLA(i+1,j+1),1,-maps[i][j]);  
105.             }  
106.         }  
107.     ans=0;  
108.     while(BFS())  
109.     dfs();  
110.     printf(”%d\n”,-ans);  
111.       
112.     ans=0;  
113.     tmp=n+m-2;  
114.       
115.     for(int i=1;i<=tmp+1;i++)f[n][i]=maps[n][i];  
116.     for(int i=n-1;i>=1;i–,tmp–)  
117.         for(int j=1;j<=tmp;j++)  
118.             f[i][j]=Max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+maps[i][j];  
119.     for(int i=1;i<=m;i++)ans+=f[1][i];  
120.     printf(”%d\n”,ans);  
121.       
122.     return 0;  
123. }