动态规划——数字三角形最大和

题目描述：

求数字三角形从顶层到底层的最大和，路径抉择时只能向下或向右下走。

本题中的数字三角形：

7

3,8

8,1,0

2,7,4,4

4,5,2,6,5

题解：若三角形为等腰三角形或其他形式，先化为上述矩阵的样子方便解答，可用矩阵int [][]matrix={{7},{3,8},{8,1,0},{2,7,4,4},{4,5,2,6,5}}表示。

//***纯递归,找到递归公式便找到了DP_状态转移方程；public int triangleSum(int[][] matrix,int m,int n){if(m>=matrix.length||n>m)return 0;return  triangleSum(matrix,m+1, n)>triangleSum(matrix,m+1, n+1)?\                        triangleSum(matrix,m+1, n)+matrix[m][n]:triangleSum(matrix,m+1, n+1)+matrix[m][n];}

//***自顶向下记忆化方式public  int [][]data=new int[5][5];//这里的matrix为[5][]；public int triangleSum1(int[][] matrix,int m,int n){        if(m==matrix.length-1&&n<=m)        {        data[m][n]=matrix[m][n];        return data[m][n];        }  //将递归中没有被记录的值记录；if(data[m+1][n]==0)data[m+1][n]=triangleSum1(matrix,m+1,n);if(data[m+1][n+1]==0)data[m+1][n+1]=triangleSum1(matrix,m+1,n+1);      //直接用记录中的值得到本次需要返回的值；data[m][n] = data[m+1][n]>data[m+1][n+1]?data[m+1][n]+matrix[m][n]:data[m+1][n+1]+matrix[m][n];return data[m][n];}

//***DP_自底向上递推public int [][]path=new int [5][5];//二维数组path用来存放决策的状态；public int triangleSum_DP(int[][] matrix,int m,int n){int [][]data=new int[5][5];for(int i=0;i<5;i++)//递推公式中的边界条件需要额外在矩阵中赋值；data[4][i]=matrix[4][i];//开始自底向上逐级递推，data为最大和路径矩阵；for(int i=4;i>m;i--){for(int j=0;j<=i-1;j++){if(data[i][j]>data[i][j+1]){data[i-1][j]=data[i][j]+matrix[i-1][j];path[i-1][j]=1;}else{data[i-1][j]=data[i][j+1]+matrix[i-1][j];path[i-1][j]=2;}}}return data[m][n];}

//***恢复路径；打印结果为 73875；//path[5][5] ==[[1, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 0, 0, 0], [2, 1, 2, 0, 0], [2, 1, 2, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 0]]public void pathback(int[][]matrix,int[][]path,int i,int j){//path[5][5]中第5行的值全部为默认的0，而递归条件是值为1或2则递归，所以数组没有越界。System.out.print(""+matrix[i][j]);if(path[i][j]==1)pathback(matrix,path,i+1, j);if(path[i][j]==2)pathback(matrix,path,i+1, j+1);}