二叉堆

        二叉堆是一种高级的数据结构，用来动态维护一个序列中的最值和对某一个数的删除或插入。堆满足下列性质：

        1，堆是一棵完全二叉树。（因此可以用数组来表示且不浪费空间）
        2，堆的每一个父亲节点的值均≥(大根堆)或≤(小根堆)其左右孩子的值。（下面若没有注明，均讨论大根堆）

        下面来看一下堆的相关操作：

【最值】

        最值就不用说了吧，直接输出根节点就行了。因为根节点都大于等于其左右孩子，而它的左右孩子又大于等于其左右孩子……。

【插入】

        为了方便，插入时一般在数组的尾部，但插入后会出现一些不符合堆的性质的情况：h[ p ]>=h[ father(p) ]，这是我们把它们交换，就可以维护性质了。但交换后还是可能出现违背性质的情况，所以，我们要从下往上进行交换。众所周知，father(p)=p/2，因此可以用p/2的步骤找到自己的父亲并进行交换。

void insert(int p)
{

h[++m]=p;
int j=m;
while((j>>1)>0 && h[j]>h[j>>1])
{
swap(h[j],h[j>>1]);
j>>=1;// j=j>>1; 相当于j=j/2;
}

return;
}

【删除】

        假如我们要删除数组中第一个数，只要把第一个数和最后一个数进行交换就行了。这时，又会出现一些不符合堆的性质的情况出现：如H[p]<H[ left(p) ]或H[p]<H[ right(p) ]的情况出现。那么，我们把它们交换不就可以了！但是，我们还有一个问题，假如H[p]<H[ left(p) ]和H[p]<H[ right(p) ]的情况都出现，那么应该交换那个呢？应该是较大的那一个。为什么呢?

 

我们都知道，一个节点p的左孩子是p*2，右孩子是p*2+1，所以，我们可以从上往下进行比较并交换。

int Delete()//删除并输出最大值 
{
int ans=h[1];
h[1]=h[m--];

int j=1,k;
while( j<<1<=m )
{
k=j<<1;
if(k<m && h[k]<h[k+1]) k++;//比较左孩子和右孩子的大小 
if(h[k]<=h[j]) break;
swap(h[j],h[k]);//交换 
j=k;
}
return ans;//最大值 
}

以上就是一些关于堆的相关操作，时间效率都是O(logn)的。因此堆是一种非常有用的数据结构！