线段树

    线段树是一种高级数据结构。用来维护区间的动态求最值或求和问题。应用十分广泛。

    先由一个例子引入：

    给出一个序列A，现在有两种操作：

        1：把序列A中从i到j（包含i，j）的值全部变为一个数t；（改变一段数）

        2：求序列A从i到j（包含i，j）的和（或最值）；

数据范围：序列长度<=100000，操作数量<=1000000。

   假如纯模拟的话，就只能得部分分。而线段树就能很好地解决问题。

   

    线段树是一棵完全二叉树，如下图所示：

所以，我们可以先建立一棵二叉树，在按上面的方法来实现算法。

定义一棵二叉树

struct Tnode{
int l,r;//区间[l,r]
int max;//区间[l,r]的最大值
int lc,rc;//左孩子和右孩子
};
Tnode f[1000007];

建立一棵二叉树

const int oo=0x7fffffff/3;
int fp=0;
int petPoint(int l,int r,int max)//建立一个点，相当于new
{

fp++;
f[fp].l=l;
f[fp].r=r;
f[fp].max=max;

return fp;

}

int create(int l,int r)
{

int now = petPoint(l,r,-oo);
if(l<r)//递归，如果合法就递归
{
f[now].lc=create( l , (l+r) /2 );//左
f[now].rc=create( (l+r) /2+1, r );//右
}
return now;
}

 

修改一个数时，只要找到这个数并修改就行了。

修改一个数

void update(int root, int p, int v)//修改一个数 
{
int l=f[root].l,r=f[root].r;
if(p<l || p>r) return ;//p不在这个区间 
if(l==r) { f[root].max= v; return; }//相等的只有最后一层才有，而且在区间内，直接赋值就可以了 
update(f[root].lc, p, v);//向左递归 
update(f[root].rc, p ,v);//向右递归 

f[root].max=max(f[ f[root].lc ].max , f[ f[root].rc ].max );//维护最大值信息 

} 

那么查询区间最大值时，会有几种情况呢？

 所以，可以得出以下程序：

查询最大值

int query(int root, int l, int r)//查询最大值 
{
if(l>f[root].r || r<f[root].l) return 0;    //区间没有关联 

if(l<=f[root].l && r>=f[root].r) return f[root].max;//包含 

int ans=-oo;
ans=max(ans, query( f[root].lc, l, r) );//向左递归 
ans=max(ans, query( f[root].rc, l, r) );//向右递归 
return ans;
} 

最后，就可以得到线段树的程序了：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int oo=0;
struct Tnode{
int l,r;
int max;
int lc,rc;
};
Tnode f[10000];
int i,t;
int n,m,fp=0;

int petPoint(int l,int r,int max)//建立一个点，相当于new
{

fp++;
f[fp].l=l;
f[fp].r=r;
f[fp].max=max;

return fp;

}

int create(int l,int r)
{

int now = petPoint(l,r,-oo);
if(l<r)//递归，如果合法就递归
{
f[now].lc=create( l , (l+r) /2 );//左
f[now].rc=create( (l+r) /2+1, r );//右
}
return now;
}

int query(int root, int l, int r)//查询最大值 
{
if(l>f[root].r || r<f[root].l) return 0;    //区间没有关联 

if(l<=f[root].l && r>=f[root].r) return f[root].max;//包含 

int ans=-oo;
ans=max(ans, query( f[root].lc, l, r) );//向左递归 
ans=max(ans, query( f[root].rc, l, r) );//向右递归 
return ans;
} 

void update(int root, int p, int v)//修改一个数 
{
int l=f[root].l,r=f[root].r;
if(p<l || p>r) return ;//p不在这个区间 
if(l==r) { f[root].max= v; return; }//相等的只有最后一层才有，而且在区间内，直接赋值就可以了 
update(f[root].lc, p, v);//向左递归 
update(f[root].rc, p ,v);//向右递归 

f[root].max=max(f[ f[root].lc ].max , f[ f[root].rc ].max );//维护最大值信息 

} 

int main()
{
int l,r;
scanf("%d",&n);
int root = create(1,n);//建立一棵树 

scanf("%d",&m);
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&t);
if(t==0) //区间最值 
{
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",query (root, l, r) );
}
else//修改 
{
scanf("%d%d",&l,&r);
update(root,l,r);
}
}

return 0;
}