欧拉 函数

新年快到了，“猪头帮协会”准备搞一个聚会，已经知道现有会员N人，把会员从1到N编号，其中会长的号码是N号，凡是和会长是老朋友的，那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数，否则都是新朋友，现在会长想知道究竟有几个新朋友？请你编程序帮会长计算出来。

 

Input

第一行是测试数据的组数CN（Case number，1<CN<10000），接着有CN行正整数N（1<n<32768），表示会员人数。

 

Output

对于每一个N，输出一行新朋友的人数，这样共有CN行输出。

 

Sample Input

22560824027

 

Sample Output

768016016

 

Author

SmallBeer(CML)

 

Source

杭电ACM集训队训练赛（VII）

 

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#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int Euler(int x)// 求 欧拉函数值 其实就是通式的应用
{
    int i,res = x;
    for(i = 2;i*i<=x;i++)  // 
    {
        if(x%i==0)
            res = res/i*(i-1);
        while(x%i==0)  //保证遍历的一定是质因子
            x=x/i;
    }
    if(x>1)
        res = res / x*(x-1);// x 若为1，则所有质因子全部遍历，不为1 则表示最后一个质因子残余，继续res / x*(x-1)
    return res;
}
int main()
{
    int t,n;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        cout<<Euler(n)<<endl;
    }
    return 0;
}

普通的 最大公约数超时

欧拉函数

判别

证明

欧拉函数：在数论中，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。


先给出一个结论：


 设P是素数，


 若p是x的约数，则E(x*p)=E(x)*p.


 若p不是x的约数，则E(x*p)=E(x)*E(p)=E(x)*(p-1).


证明如下：


E(x)表示比x小的且与x互质的正整数的个数。
*若p是素数，E(p)=p-1。
*E(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*P^(k-1)
证：令n=p^k,小于n的正整数数共有n-1即(p^k-1)个,其中与p不质的数共[p^(k-1)-1]个(分别为1*p,2*p,3*p...p(p^(k-1)-1))。
所以E(p^k)=(p^k-1)-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1).得证。
*若ab互质，则E(a*b)=E(a)*E(b)，欧拉函数是积性函数.
*对任意数n都可以唯一分解成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an(pi为素数).
则E(n)=E(p1^a1)*E(p2^a2)*E(p3^a3)*...*E(pn^an)     
      =(p1-1)*p1^(a1-1)*(p2-1)*p2^(a2-1)*...*(pn-1)*pn^(an-1)
      =(p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an)*[(p1-1)*(p2-1)*(p3-1)*...*(pn-1)]/(p1*p2*p3*...*pn)
      =n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)
* E(p^k)    =(p-1)*p^(k-1)=(p-1)*p^(k-2)*p
  E(p^(k-1))=(p-1)*p^(k-2)
->当k>1时，E(p^k)=E(p*p^(k-1))=E(p^(k-1))*p.
  (当k=1时，E(p)=p-1.)
由上式: 设P是素数，
  若p是x的约数，则E(x*p)=E(x)*p.
  若p不是x的约数，则E(x*p)=E(x)*E(p)=E(x)*(p-1).   证明结束。