最长公共子序列

原理
动态规划方法解LCS问题的原理如下：
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

 

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m * n)。

实现代码：

public class LCP {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubString one = " " + "ABCBDAB";String two = " " + "BDCABA";char x[] = one.toCharArray();char y[] = two.toCharArray();int b[][] = getLength(x, y);myprint(b, x, x.length - 1, y.length - 1);}private static void myprint(int[][] b, char[] x, int i, int j) {if (i == 0 || j == 0) {return;}if (b[i][j] == 0) {myprint(b, x, i - 1, j - 1);System.out.print(x[i] + " ");} else if (b[i][j] == 1) {myprint(b, x, i - 1, j);} else {myprint(b, x, i, j - 1);}}private static int[][] getLength(char[] x, char[] y) {// TODO Auto-generated method stubint b[][] = new int[x.length][y.length];int c[][] = new int[x.length][y.length];for (int i = 1; i < x.length; i++) {for (int j = 1; j < y.length; j++) {if (x[i] == y[j]) {c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;b[i][j] = 0; // 左上角继承} else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {c[i][j] = c[i - 1][j];b[i][j] = 1; // 上方继承} else {c[i][j] = c[i][j - 1];b[i][j] = 2; // 左方继承}}}return b;}}

测试结果：