Astar2016-Round2B 1003(杨辉三角，求大数组合)

FROM：

2016"百度之星" - 初赛（Astar Round2B）

http://bestcoder.hdu.edu.cn/contests/contest_showproblem.php?cid=702&pid=1003

Problem Description

有一个无限大的矩形，初始时你在左上角（即第一行第一列），每次你都可以选择一个右下方格子，并瞬移过去（如从下图中的红色格子能直接瞬移到蓝色格子），求到第nn行第mm列的格子有几种方案，答案对10000000071000000007取模。

http://acm.hdu.edu.cn/data/images/C702-1003-1.jpg

Input
多组测试数据。
两个整数n,m(2\leq n,m\leq 100000)n,m(2≤n,m≤100000)
Output
一个整数表示答案
Sample Input
4 5
Sample Output

10

分析

（i,j）的值是（i,j-1）和（i-1,j）值的和。

先是采用dp的方法，但超时了，代码主体如下

int dp[2][SZ]; //采用2行数组，否则空间会超

for(i=2;i<=m;i++){dp[0][i]=1; dp[1][i]=i-1;}int k=2;int f=0;//dp[][0]while(++k<=n){for(i=m-1;i<=m;i++)dp[1-f][i]=(dp[1-f][i-1]+dp[f][i])%mod;f=1-f;}cout<<dp[f][m];

后来分析发现，这是杨辉三角，百度查了求杨辉三角某个位置值的方法，第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1) 。注意：这边的行列和题中不同。

补充组合知识：C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8037918 有很多组合相关题目解析

因为n，m较大，想了很久，没想到合适的求法，继续百度到了求解方法：http://www.xuebuyuan.com/1154396.html 采用了Lucas定理。赛后发现很多人也是采用了这个方法。

定理公式为：

Lucas(a,b,q)=C(a%q,b%q)*Lucas(a/p,b/p,p);
Lucas(a,0,q)=0;

代码(代码中lucas为第n行第m个组合数，如第5行第1个数为5.   p必须为素数！！！)

#include <iostream>using namespace std;#define LL long long#define INF 0x3f3f3f3fconst int SZ=100002;const int p=1000000007;LL Pow(LL a,LL b,LL mod)  {      LL ans=1;      while(b)      {          if(b&1)          {              b--;              ans=(ans*a)%mod;          }          else          {              b/=2;              a=(a*a)%mod;          }      }      return ans;  }  LL C(LL n,LL m)  {      if(n<m)          return 0;      LL ans=1;      for(int i=1;i<=m;i++)      {          ans=ans*(((n-m+i)%p)*Pow(i,p-2,p)%p)%p;      }      return ans;  }  LL Lucas(LL n,LL m)  {      if(m==0)          return 1;      return (Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p))%p;  }  int main(){    int i,j;    int n,m;    while(cin>>n>>m){        if(n<m)            swap(n,m);        //C n+m-4,m-2        int a=n+m-4,b=m-2;        if(a-b<b)            b=a-b;        //C a,b        LL ans=Lucas(a,b);        cout<<ans<<endl;    }        return 0;}

我也尝试了不使用Lucas定理来求大数组合，结果是正确的，但没在oj中尝试。 对每次除法采用逆元。

#include <iostream>using namespace std;#define LL long longconst int mod=1000000007;LL mod_pow(LL x,LL n,LL mod) {LL res = 1;  x%=mod;  while(n>0){   if(n & 1){  res = res * x % mod;  }  x = x * x % mod;  n>>=1;  }   return res;  }int main(){int i,j;int n,m;while(cin>>n>>m){if(n<m)swap(n,m);//C n+m-4,m-2int a=n+m-4,b=m-2;if(a-b<b)b=a-b;LL ans=1; //要为LL型，否则乘积可能超出表示范围for(i=1;i<=b;i++){ans*=(a-i+1)%mod;ans%=mod; //不能少这句ans*=mod_pow(i,mod-2,mod)%mod;ans%=mod; //不能少这句//ans=ans*((a-i+1)%mod * mod_pow(i,mod-2,mod)%mod)%mod;}cout<<ans<<endl;}return 0;}