计算机程序的构造和解释 练习 1.40 ~ 1.45

#lang racket#lang racket;: 求不动点 f(x) = x  则x为不动点(define (fixed-point f first-guess)  (define tolerance 0.00001)  (define (close-enough? v1 v2)    (< (abs (- v1 v2)) tolerance))  (define (try guess)    (let ((next (f guess)))      (if (close-enough? guess next)          next          (try next))))  (try first-guess));: 平均阻尼函数(define (average-damp f)  (define (average a b) (/ (+ a b) 2))  (lambda (x) (average x (f x))));: 重新定义求平方根函数(define (sqrt x)  (fixed-point (average-damp (lambda (y) (/ x y)))               1.0));: 求平方(define (square x) (* x x));: 求立方(define (cube-root x)  (fixed-point (average-damp (lambda (y) (/ x (square y))))               1.0));: 求导数(define (deriv g)  (lambda (x)    (/ (- (g (+ x dx)) (g x))       dx)))(define dx 0.00001);: 牛顿法 中的 f(x) = x - g(x) / Dg(x)(define (newton-transform g)  (lambda (x)    (- x (/ (g x) ((deriv g) x)))));: 牛顿法(define (newtons-method g guess)  (fixed-point (newton-transform g) guess));;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;: transform 是对函数 g 的变换函数,返回值还是丈函数(define (fixed-point-of-transform g transform guess)  ;: 变换之后求不动点  (fixed-point (transform g) guess));: 重新定义 平方根函数(define (sqrt2 x)  (fixed-point-of-transform (lambda (y) (/ x y))                            average-damp ;: 将把上面的前一个函数进行变换                            1.0))(define (sqrt3 x)  (fixed-point-of-transform (lambda (y) (- (square y) x))                            newton-transform                            1.0));;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:练习 1.40 求方程的0点(define (cubic a b c)  (lambda (x)    (+ (* x x x) (* a x x) (* b x) c)));: ;:(newtons-method (cubic 1 2 3) 1);: 结果-1.2756822036498454;: 验证;:((cubic 1 2 3) -1.2756822036498454) ;: 结果4.935607478273596e-012;: 结果差不多;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;: 练习 1.41 请定义一过程double(define (double f)  (lambda (x)    (f (f x))))(define (inc x)  (+ 1 x));:(newline);:((double inc) 1);:;:(((double (double double)) inc) 5);: 21;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;: 练习 1.42;: f(g(x))(define (compose f g)  (lambda (x)    (f (g x))));:(newline);:((compose square inc) 6);;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;: 练习 1.43#|(define (repeated f n)  (if (= n 1)      f ;: n = 1 时，直接返回原函数      (lambda (x) ;: 否则返回        (f         ((repeated f (- n 1)) x) ;: 对其余的调用 n-1次 f，再对结果调用一次f.这样总共调用了n次         ))))|#;: 练习 1.43使用 compose;: 调用 f函数 n次(define (repeated f n)  (if (= n 1)      f      (compose f (repeated f (- n 1)))));:(newline);:((repeated square 2) 5);;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;: 练习1.44;: 一次平滑函数(define (smooth f)  (define (iter dx)    (lambda (x)      (/ (+ (f (- x dx))            (f x)            (f (+ x dx)))         3)))  (iter 0.00001));: n 次平滑函数(define (smooth-n f n)  ((repeated smooth n) f)) ;:((smooth-n square 10) 5);;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:练习 1.45;: 计算 4次方根,使用一次平均阻尼不好使;: y^4 = x => y|-> x/(y^3)#|;: 用一次平均阻尼做不动点 不收敛!!!!!(y + x / y^3) / 2(define (sqrt-4 x)  (fixed-point (average-damp (lambda (y) (/ x (* y y y))))               1.0))|#;: 求 x 的n次方根(define (pow x n)  (if (= 0 n) 1 (* x (pow x (- n 1)))))(define (sqrt-n x n)  ;: 求以2为底n的对象，并取整  (define (lg n)    (cond ((> (/ n 2) 1)           (+ 1 (lg (/ n 2))))          ((< (/ n 2) 1)           0)          (else 1)))  (define re-times (lg n))  ;: 求不动点  (fixed-point ((repeated average-damp  re-times)                (lambda (y) (/ x (pow y (- n 1))))                ) ;: 对此函数求 re-times次平均阻尼               1.0));: 测试(sqrt-n 100000 5)(sqrt-n 1000000 6)(sqrt-n 10000000 7)(sqrt-n 100000000 8)