登封造极之数论——闯入模世界
来源:互联网 发布:免费翻墙 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 07:04
基本问题:ax+by=gcd(a,b)
关键点:a^-1(a的模逆元)*a=1(mod b),只要解出a的逆元,问题就可以迎刃而解了。
原理1:费马小定理:a^p(p是质数)=a(mod p)
变形:a^(p-1)=1(mod p)
a^(p-2)*a=1(mod p)
所以:a^-1=a^(p-2)(mod p)
设p为一很大的质数,快速幂求解。
原理2:拓展欧几里得算法:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
又:gcd(a,b)=ax+by
gcd(b,a%b)=b*x1+(a-a/b*b(取整))*y1
=a*y1+b*(x1-a/b*y1)
所以:x=y1
y=x1-a/b*y1
递归求解。
参考程序:
#include<cstdio>#define oo 2147483647int a,b,x,y;int exgcd (int a,int b,int &x,int &y){if (b==0){x=1;y=0;return a;}else{int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;}}int ksm(int x,int ex){if (ex==1)return x;int k=ksm(x,ex/2)%b;return ((k*k)%b*(ex%2==1?x:1))%b;}int main(){scanf("%d %d",&a,&b);int k=exgcd(a,b,x,y),n=b;printf("%d\n",(x+n)%n);int t=ksm(a,oo-2);printf("%d",t);return 0;}
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