第四届蓝桥杯决赛 A组 供水设施 dp+拓扑+枚举

标题：供水设施

X星球的居民点很多。Pear决定修建一个浩大的水利工程，以解决他管辖的N个居民点的供水问题。现在一共有N个水塔，同时也有N个居民点，居民点在北侧从1号到N号自西向东排成一排；水塔在南侧也从1号到N号自西向东排成一排。

N条单向输水线（有水泵动力），将水从南侧的水塔引到北侧对应的居民点。我们不妨将居民点和水塔都看做平面上的点，居民点坐标为(1,K)~(N,K)，水塔为(1,0)~(N,0)。除了N条纵向输水线以外，还有M条单向的横向输水线，连接(Xi,Yi)和(Xi,(Yi)+1)或者(Xi,Yi)和(Xi,(Yi)-1)。前者被称为向右的水路，而后者是向左的。不会有两条水路重叠，即便它们方向不同。布局的示意图如：上图所示。显然，每个水塔的水都可以到达若干个居民点（而不仅仅是对应的那个）。例如上图中，4号水塔可以到达3、4、5、6四个居民点。现在Pear决定在此基础上，再修建一条横向单项输水线。为了方便考虑，Pear认为这条水路应当是自左向右的，也就是连接了一个点和它右侧的点（例如上图中连接5和6两个纵线的横向水路）。Pear的目标是，修建了这条水路之后，能有尽可能多对水塔和居民点之间能到达。换句话说，设修建之后第i个水塔能到达Ai个点，你要最大化A1+A2+...+An。根据定义，这条路必须和X轴平行，但Y坐标不一定要是整数。注意：虽然输入中没有重叠的水路，但是你的方案可以将新修的输水线路与已有的水路重叠。

【输入数据】
输入第一行包含三个正整数N，M，K，含义如题面所述：N是纵向线数，M横向线数，K是居民点纵坐标。

接下来M行，每行三个整数。前两个正整数Xi Yi表示水路的起点坐标；1<=Xi<=N,0<Yi<K。接下来一个数0或者1，如果是0表示这条水路向左，否则向右。保证水路都是合法的，也就是不会流向没有定义的地方。

【输出数据】
输出一行。是一个正整数，即：题目中要求的最大化的A1+A2+…+An。

【输入样例1】
4 3 2
1 1 1
3 1 0
3 1 1
【输出样例1】
11

【输入样例2】
7 9 4
2 3 0
7 2 0
6 3 1
6 1 0
2 1 1
3 3 1
5 2 0
2 2 1
7 1 0
【输出样例2】
21

题目难度在于数据规模。 首先不难发现：修建水渠的肯定是 y 坐标整点。因此对于 20%的数据，暴力枚举哪一 个位置修建水渠即可。接下来我们需要观察出，这是一个平面图，因而每个点能到达的居 民点一定是连续的一段（因为有南北向水渠所以这一点比较显然）。接下来，如果把 N 个水塔能到达的居民点区间都求出来，则区间是单调不降的。这同样取决于平面图的性质。 由于没有（双向）重边，所以图肯定是一个拓扑图。要想得到每个水塔能到达哪些居 民点，只要把拓扑图构出来，并按拓扑序进行 dp（得到每个点能到达的最左最右点即可）。 接下来枚举那条添加的边。这条边肯定是加在某个“关键点”向右的——所谓关键点就是 所有居民点、路的端点、水塔。枚举它一共有 O(M+N)种情况。这条路必然把原来的一个点 向右的距离扩展了一段。接下来，假设这个点能由[l,r]这一段居民点到达（这里易知也 是连续的，可以在反图上 dp 求出），那么就相当于这些区间的右端点都和某个数取 max。 因为右端点有序，所以很容易维护。其它之前提到的操作都可以用 stl 解决。 整个算法复杂度为 O(NlogN)。用 O(N^2)等较劣的算法直接实现可得 60 分或 40 分。

然而没有代码。