数字图像处理的插值方法

来源：互联网发布：餐饮取名软件编辑：程序博客网时间：2024/04/30 23:01

在对图像进行空间变换的过程中，典型的情况是在对图像进行放大,旋转处理的时候，图像会出现失真的现象。这是由于在变换之后的图像中，存在着一些变换之前的图像中没有的像素位置。处理这一问题的方法被称为图像灰度级插值。常用的插值方式有三种：最近邻域插值、双线性插值、双三次插值。理论上来讲，最近邻域插值的效果最差，双三次插值的效果最好，双线性插值的效果介于两者之间。不过对于要求不是非常严格的图像插值而言，使用双线性插值通常就足够了。

图像的最近邻域插值很好理解，就是谁近就取谁的灰度值，分为前向映射和后向映射。

图像的双线性插值比较麻烦，不过如果理解了线性插值，则双线性插值也就不难理解了。

线性插值比较浅显易懂，就是在A,B两点连线之间插入第三个点C，C的值为C=aA+bB

但是如果C不在AB的线上该怎么办？于是就有了双线性插值。图像的双线性插值是基于与其相邻的四个端点的像素值来确定的。

如图，已知Q12，Q22，Q11，Q21，但是要插值的点为P点，P点不在任意两点的连线上，这就要用双线性插值了，首先在x轴方向上，对R1和R2两个点进行插值，这个很简单，然后根据R1和R2对P点进行插值，这就是所谓的双线性插值。

假如我们想得到未知函数 $f$ 在点 $P=\left( x, y\right)$ 的值，假设我们已知函数 $f$ 在 $Q_{11} = \left( x_1, y_1 \right)$ , $Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right)$ , $Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right)$ , 及 $Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right)$ 四个点的值。

首先在 x 方向进行线性插值，得到

$f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),$

$f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).$

然后在 y 方向进行线性插值，得到

$f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).$

这样就得到所要的结果 $f \left( x, y \right)$ ,

$f(x,y) \approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)$

$+ \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).$

如果选择一个坐标系统使得 $f$ 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那么插值公式就可以化简为

$f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.$

或者用矩阵运算表示为

$f(x,y) \approx \begin{bmatrix}1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f(0,0) & f(0,1) \\f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1-y \\y \end{bmatrix}$

与这种插值方法名称不同的是，这种插值方法的结果通常不是线性的，它的形式是

$b_1 + b_2 x + b_3 y + b_4 x y. \,$

常数的数目都对应于给定的 f 的数据点数目

$b_1 = f(0,0)$

$b_2 = f(1,0) - f(0,0)$

$b_3 = f(0,1) - f(0,0)$

$b_4 = f(1,1) - f(1,0) - f(0,1) + f(0,0)$

线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值，然后进行 x 方向的插值，所得到的结果是一样的。

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