金刚坐飞机问题

问题描述：

现在有一班飞机要起飞了。乘客们准备按机票号码（1，2，3，...，N）依次登记，突然来了只大猩猩（对，他叫金刚），也有飞机票，但是他插队第一个登上了飞机。然后随意的选了一个座位坐下。

现在乘客们虽然感到愤怒，但还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置被别人（或金刚同志）占了，就随机的选择另一个位置坐下，不再挪动位置。

这种情况下，第i个乘客（除去金刚同志）坐到自己原机票位置的概率是多少？？

下面的图片是书上的解法思路

 很多人都卡在这一步了，其实再多写一项就解决了

当 n < i 时
f(n) = 1/(N-n+1)*(1+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+.....+f(N))，
即（N-n+1）*f(n) = 1+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+.....+f(N) ------------------等式1

如果(n+1) < i
也有f(n+1) = 1/(N-n)*(1+f(n+2)+f(n+3)+.....+f(N))
即 （N-n）*f(n+1) = 1+f(n+2)+f(n+3)+.....+f(N) ------------------------等式2

等式1和等式2相减，可得到

当 (n+1)  < i 时
f(n) = f(n+1)

由此可知，当1<=n<i 时

金刚坐在第n个位置，与金刚坐在第j个位置（n<j<i），对于第i个乘客座在自己座位上的概率丝毫不影响，

故f(n) = f(n+1) = .....= f(i-1)

 

 

------------------------------------

求f(i-1)就简单了哦~

 

金刚坐了第（i-1）个位置，这种情况下，第（i-1）个人只要不坐在第i个位置即可。
则第i个人坐在自己位置的概率为
1-1/(N-i+2) = (N-i+1)/(N-i+2)

所以：

很多人又卡在最后一步了：下面是我的详细计算步骤

最后说明一下，

当I=1时，概率为1/N,因为金刚是第一个乘客，他随机选

当I>1时，概率如上面所说的