金刚坐飞机问题

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编程之美4.1金刚坐飞机问题

（本文中，N、n、f(n)、i的含义都和书上一样）
现在有一架飞机要起飞，乘客们正准备按机票号码（1,2,3...,N）一次排队登机。突然来了一只大猩猩（金刚）。

他也有机票，但是他插队第一个登上了飞机，然后随意的选择了一个座位坐下了。

根据社会的和谐程度，其他的乘客有两种反应：

（1）乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志都不守规矩，为什么我要遵守？”他们也随意的找位置坐下，并且坚决不让座位给其他乘客。
（2）乘客们虽然感到愤怒，但是还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚同志）占了，就随机的选择另一个位置坐下，并开始闭目养神，不再挪动。
问题：在这两种情况下，第i个乘客（出去金刚同志外）做到自己原机票位置的概率分别是多少？

解答：
（1）所有人都随机找位置坐下，问第i个人坐在第i个位置的概率
其实N个人坐N个座位有N!种情况，每一种情况都是等概率的
所以，答案自然是1/N没话说
（2）首先说说题目本身的问题！

我在读完题目之后，第一感觉是哪里不对，说不清楚哪里不对，反正感觉很奇怪。

然后看书上解析的时候，刚看了一点点就感觉不对劲。

我看了好多博客里面的论述，比如：点击打开链接

这篇博客的主人就提到，难道它认为金刚的正确位置是1吗？

还有很多博客都质疑书上写的有问题。

后来我找到一篇写的很不错的：点击打开链接

这篇博客的主人也认为题目叙述的不对，和我的想法一模一样。

他对题目进行重新论述：

飞机上有N个座位，座位编号依次为1,2,..N。恰好有N个乘客排队登机，第1个乘客的座位编号是1，第2个乘客的座位编号是2，...，第N个乘客的座位编号是N。每个乘客都应该坐在编号正确的座位上。但是，第1个乘客是不讲道理的金刚，他第一个进入飞机，随便（随机）挑了一个座位坐下。其他乘客敢怒不敢言，只好依次找座位坐下。如果自己的座位没有被占，则坐自己的座位，否则，也像金刚那样随便挑一个座位。

现在，求第i个乘客（第1个乘客还是金刚）坐到自己座位的概率是多少？

我觉得这就是书上的题目的原意，只不过不知道为什么书上写的偏差有点大。

之所以说这就是原意，是因为书上的解析完完全全就是这个题目的解答，这个题目是很清晰的，而书上的题目我读第一遍的时候就感觉根本读不通。

顺便一提，书上267页第11行“将n=2代入”应该改成“将n=i-1代入”

下面我给出我的问题：

第2个人，第3个人......第k个人（1<k<=N）都在自己的位置上的概率是多少？

为了求出这个，首先考虑，金刚坐到自己座位的概率是多少？

解答：金刚可以在N个座位里面随机选择1个，所以选到1号座位的概率是1/N

然后，在第2个人，第3个人......第k个人都在自己的座位上的条件下，金刚坐到自己座位的概率是多少？

解答：这是一个条件概率的问题。

如果金刚的位置在2-k之间，第2个人，第3个人......第k个人就不可能都在自己的座位上

如果金刚的位置不在2-k之间，那么第2个人，第3个人......第k个人就一定都在自己的座位上

所以要求的条件概率是1/(N-k+1)

最后，第2个人，第3个人......第k个人都在自己位置上的概率是，1/N/(1/(N-k+1))=N-k+1/N

可惜的是，用这个结论并不能直接求出原题的答案。