图论（一）：DFS，BFS，邻接链表，并查集

本文总结了图的深度优先搜索，图的广度优先搜索，邻接链表和邻接矩阵的实现，并查集的实现。

0），预备知识
        基础词汇：有向图，无向图，带权有向图，带权无向图，有向图中<Vi, Vj>:即Vi--->Vj,弧尾--->弧头，无向图中相邻记为(Vi, Vj)，顶点有穷集合V+边的有穷集合E。
        图的两种实现方式：1，邻接矩阵：edge[n][n]表示有n个结点，数组内容为权值大小或者是否存在边(∞表示无边，权值或1表示有边，0表示结点到结点本身)；
                                2，邻接链表：针对稀疏矩阵较适宜，为图的每个顶点都建立一个单链表，第i个单链表中保存与结点Vi所有相邻结点信息(无向图)或弧尾结点信息(有向图)，以及边信息。

1），图的深度优先搜索(DFS)
        深度优先算法的主要思想是：首先以一个未被访问过的顶点作为起始顶点，沿当前顶点的边走到未访问过的顶点；当没有未访问过的顶点时，则回到上一个顶点，继续试探访问别的顶点，直到所有的顶点都被访问过。显然，深度优先遍历是沿着图的某一条分支遍历直到末端，然后回溯，再沿着另一条进行同样的遍历。
        例1：以下图为例，从结点1开始DFS，程序的算法思想是：在主函数中初始化连接矩阵，调用dfs(1) ---> 设置变量cnt，将cnt等于结点个数作为dfs递归的临界条件 ---> 设置标志mark[n],当当前访问结点的边指向的下一结点未被访问时，进行dfs调度访问(结点的相邻结点的访问顺序为标号由小到大的顺序)

/***先输入n个结点，m条边，之后输入无向图的m条边，之后对上图输出DFS遍历的结点顺序***/#include <iostream>#include <iomanip>#define nmax 110#define inf 999999999using namespace std;int n, m, cnt, edge[nmax][nmax], mark[nmax];//结点数，边数，计数值，邻接矩阵，结点访问标记void dfs(int cur){cnt++;/***operation***/if(cnt == 1)cout << cur;else cout << setw(3) << cur;/***operation***/if(cnt == n) return;else{int i;for(i = 1; i <= n; i++){if(edge[cur][i] == 1 && mark[i] == 0){mark[i] = 1;dfs(i);}}return;}}int main(){while(cin >> n >> m && n != 0){//初始化邻接矩阵int i, j;for(i = 1; i <= n; i++){for(j = 1; j <= n; j++){edge[i][j] = inf;}edge[i][i] = 0;}int a, b;while(m--){cin >> a >> b;edge[a][b] = edge[b][a] = 1;}//以dnf(1)为起点开始递归遍历memset(mark, 0, sizeof(mark));cnt = 0;mark[1] = 1;dfs(1);cout << endl;}return 0;}

        程序运行结果：

        例2：下面是城市的地图，注意是单向图，求城市1到城市5的最短距离
        程序思路：从1号城市出发，可到达2号城市和5号城市，若按照1到n的顺序则先访问2号城市；访问完2号城市后，由于2号城市可到达的城市有3号和5号城市，我们访问3号城市；此后，3号城市可到达1号，4号城市，由于1号城市已被访问过，我们访问4号城市；4号城市又可到达5号城市，我们最后访问5号城市。但是，1->2->3->4->5并不一定是最短路径，我们需要撤除5号城市的访问标记，返回到4号城市，由于经由4号城市已访问过5号城市而又没有其他城市可访问；再返回到3号城市，经由3号城市访问过4号城市，则看看能否访问5号城市，不能则再返回到2号城市，这时2号城市有路径直达5号城市，即1->2->5.....如此折回再前进，直至找到所有1号城市能到达5号城市的路径，取其中的最小值。

/***先输入n个结点，m条边，之后输入有向图的m条边，边的前两元素表示起始结点，第三个值表权值，输出1号城市到n号城市的最短距离***//***算法的思路是访问所有的深度遍历路径，需要在深度遍历返回时将访问标志置0***/#include <iostream>#include <iomanip>#define nmax 110#define inf 999999999using namespace std;int n, m, minPath, edge[nmax][nmax], mark[nmax];//结点数，边数，最小路径，邻接矩阵，结点访问标记void dfs(int cur, int dst){/***operation***//***operation***/if(minPath < dst) return;//当前走过路径大于之前最短路径，没必要再走下去if(cur == n){//临界条件if(minPath > dst) minPath = dst;return;}else{int i;for(i = 1; i <= n; i++){if(edge[cur][i] != inf && edge[cur][i] != 0 && mark[i] == 0){mark[i] = 1;dfs(i, dst+edge[cur][i]);mark[i] = 0;}}return;}}int main(){while(cin >> n >> m && n != 0){//初始化邻接矩阵int i, j;for(i = 1; i <= n; i++){for(j = 1; j <= n; j++){edge[i][j] = inf;}edge[i][i] = 0;}int a, b;while(m--){cin >> a >> b;cin >> edge[a][b];}//以dnf(1)为起点开始递归遍历memset(mark, 0, sizeof(mark));minPath = inf;mark[1] = 1;dfs(1, 0);cout << minPath << endl;}return 0;}

        程序运行结果如下：

2），图的广度优先搜索(BFS)
          广度优先遍历的主要思想是：首先以一个未被访问过的顶点作为起始顶点，访问其所有相邻的顶点，然后对每个相邻的顶点，再访问它们相邻的未被访问过的顶点，直到所有顶点都被访问过，遍历结束。

        例1：根据1）例1中的无向图，输出其广度优先搜索顺序。
        程序主要思想：结点1入队 ---> while根据队列非空进行循环 ---> 出队并将相邻结点入队，此外需要设置计数值cnt，每次出队时加1。

/***先输入n个结点，m条边，之后输入无向图的m条边，边的两元素表示起始结点***/#include <iostream>#include <queue>#include <iomanip>using namespace std;#define nmax 110#define inf 999999999queue<int> que;int n, m, mark[nmax], edge[nmax][nmax], cnt;int main(){while(cin >> n >> m && n != 0){int i, j;//初始化邻接链表for(i = 1; i <= n; i++){for(j = 1; j <= n; j++){edge[i][j] = inf;}edge[i][i] = 0;}int a, b;while(m--){cin >> a >> b;edge[a][b] = edge[b][a] = 1;}while(!que.empty()) que.pop();memset(mark, 0, sizeof(mark));//开始广度优先遍历int head;cnt = 0;mark[1] = 1;que.push(1);while(!que.empty()){head = que.front();que.pop();/***operation***/cnt++;if(cnt == 1)cout << head;elsecout << setw(3) << head;/***operation***/for(i = 1; i <= n; i++){if(edge[head][i] == 1 && mark[i] == 0){mark[i] = 1;que.push(i);}}}cout << endl;if(cnt != n) cout << "The original image is not connected.\n";}return 0;}

        程序运行结果如下：

        例2：如下图，需要坐飞机从1号城市到5号城市，求最小的转机次数

/***先输入n个结点，m条边，出发城市，终点城市，之后输入无向图的m条边，边的两元素表示起始结点***//***需要构建结点结构体Node，存放结点编号和遍历层数,每次for循环时该层数在上一层基础上加1***/#include <iostream>#include <queue>using namespace std;#define nmax 110#define inf 999999999struct Node{int node;int cnt;};queue<Node> que;int m, n,  edge[nmax][nmax], mark[nmax], startNum, endNum;int main(){while(cin >> n >> m >> startNum >> endNum && n != 0){bool tag = false;//初始化邻接矩阵int i, j;for(i = 1; i <= n; i++){for(j = 1; j <= n; j++){edge[i][j] = inf;}edge[i][i] = 0;}while(m--){cin >> i >> j;edge[i][j] = edge[j][i] = 1;}//开始广度优先遍历memset(mark, 0, sizeof(mark));while(!que.empty()) que.pop();Node tmp;tmp.node = startNum;tmp.cnt = 0;que.push(tmp);mark[tmp.node] = 1;while(!que.empty()){Node head = que.front();que.pop();Node temp;for(i = 1; i <= n; i++){if(edge[head.node][i] == 1 && mark[i] == 0){temp.node = i;temp.cnt = head.cnt + 1;que.push(temp);//注意写在if语句里面mark[temp.node] = 1;if(temp.node == endNum){tag = true;cout << temp.cnt << endl;break;}}}if(tag)break;}}return 0;}

        程序运行结果如下：

3），邻接链表和邻接矩阵的实现
        邻接表由表头结点(结点信息)和表结点(边信息)两部分组成，其中图中每个顶点均对应一个存储在数组中的表头结点。以下为带权有向图：

        例1：邻接链表中每个顶点均对应一个存储在数组中的表头结点，为简化，每个邻接结点结构体只包含下一相邻结点编号和边权，使用标准模板vector编程实现。此外也可由邻接矩阵实现，上图实现如下：

/*****了解边信息结构体和邻接链表的实现,并在实现好基础上增加删除一些边，之后再用邻接矩阵实现，学习erase,push_back,setw的用法*****/#include <iostream>#include <iomanip>#include <vector>#define inf -1//设置无穷大为-1，表示无边using namespace std;int n;//边信息，包含连接结点编号和边的权重struct Edge{int adjNodeNum;int edgeWeight;};struct Node{//结点信息int nodeNum;char data;}node[110];vector<Edge> adjList[110]; //邻接链表，该图最多有110个结点int adjMatrix[110][110];//邻接矩阵void initAdjList(){int i;for(i = 0; i < n; i++) adjList[i].clear();//清空--->构建--->具体操作Edge tmp0[2], tmp1[2], tmp2, tmp3[3];tmp0[0].adjNodeNum = 1; tmp0[0].edgeWeight = 1;tmp0[1].adjNodeNum = 2; tmp0[1].edgeWeight = 4;node[0].data = 'A'; node[0].nodeNum = 0;adjList[0].push_back(tmp0[0]); adjList[0].push_back(tmp0[1]);tmp1[0].adjNodeNum = 2; tmp1[0].edgeWeight = 2;tmp1[1].adjNodeNum = 3; tmp1[1].edgeWeight = 9;node[1].data = 'B'; node[1].nodeNum = 1;adjList[1].push_back(tmp1[0]); adjList[1].push_back(tmp1[1]);tmp2.adjNodeNum = 3; tmp2.edgeWeight = 6;node[2].data = 'D'; node[2].nodeNum = 2;adjList[2].push_back(tmp2);tmp3[0].adjNodeNum = 0; tmp3[0].edgeWeight = 3;tmp3[1].adjNodeNum = 1; tmp3[1].edgeWeight = 5;tmp3[2].adjNodeNum = 2; tmp3[2].edgeWeight = 8;adjList[3].push_back(tmp3[0]); adjList[3].push_back(tmp3[1]); adjList[3].push_back(tmp3[2]);node[3].data = 'C'; node[3].nodeNum = 3;}void output(){int i, j;for(i = 0; i < n; i++){cout << node[i].nodeNum << setw(2) << node[i].data;for(j = 0; j < adjList[i].size(); j++){cout << setw(6) << adjList[i][j].adjNodeNum << setw(2) << adjList[i][j].edgeWeight;}cout << setw(9) << "NULL" << endl;}}void makeChange(){cout << "make some changes......:\n";Edge temp;temp.adjNodeNum = 3; temp.edgeWeight = 5;adjList[0].push_back(temp);//邻接表0中增加一个元素adjList[3].erase(adjList[3].begin()+1, adjList[3].begin()+3);//邻接表3中删除两个元素}void initMatrix(){int i, j;for(i = 0; i < n; i++){for(j = 0; j < n; j++){adjMatrix[i][j] = inf;}adjMatrix[i][i] = 0;}adjMatrix[0][1] = 1; adjMatrix[0][2] = 4; adjMatrix[1][2] = 2;adjMatrix[1][3] = 9; adjMatrix[2][3] = 6; adjMatrix[3][0] = 3;adjMatrix[3][1] = 5; adjMatrix[3][2] = 8;}void output1(){int i, j;cout << "output the adjacency matrix:\n";for(i = 0; i < n; i++){for(j = 0; j < n; j++){if(j == 0) cout << adjMatrix[i][j];else cout << setw(3) << adjMatrix[i][j];}cout << endl;}}int main(){n = 4;initAdjList();output();makeChange();output();initMatrix();output1();return 0;}

        程序运行结果如下：

4），并查集的实现
        并查集：用一棵树上的结点来表示在一个集合中的数字，如以下{1,2,3,4}和{5,6}，再用每个结点中的内容表示其双亲结点，如Tree[N]，则Tree[1] = -1, Tree[2] = 1, Tree[6] = 5......
如果想要合并这两棵树棵树，则可令Tree[5] = -1变为Tree[5] = 1。如下：

        对于，以下一种特殊情况，需要在查找树的根节点时，加以一定的约束与优化，将遍历过的元素的双亲结点设为根节点，如下：

        例1：并查集的实现

/****实现并查集的数组组成，找根节点，合并两个集合，压缩路径************************/#include <iostream>#include <iomanip>using namespace std;int Set[110];int Tree[110];//使用查找函数来寻找x所在树的根节点int findRoot(int x){if(Tree[x] == -1) return x;elsereturn findRoot(Tree[x]);}//使用压缩路径的查找函数来查找x所在树的根节点,只压缩x到root所查找的路径int findRoot1(int x){if(Tree[x] == -1) return x;else{int tmp = findRoot1(Tree[x]);Tree[x] = tmp;return tmp;//层层返回}}//使用非递归方式int findRoot_(int x){while(Tree[x] != -1) x = Tree[x];return x;}int findRoot_1(int x){int tmp = x;while(Tree[x] != -1) x = Tree[x];while(Tree[tmp] != -1) {tmp = Tree[tmp]; Tree[tmp] = x;}//tmp先保存父节点方便while循环，再对数组内容做改变return x;}int main(){int n1, n2;//集合1，2的元素个数cout << "Please input the number of set1 and the number of set2:\n";while(cin >> n1 >> n2){int i = 0, j;//输入集合1和2的数组表，第一行代表元素，第二行代表元素的双亲结点cout << "Please input set1(first line is  node, second line is its father node):\n"; for(i = 0; i < n1; i++) cin >> Set[i];for(i = 0; i < n1; i++) cin >> Tree[Set[i]];cout << "Please input set2(first line is  node, second line is its father node):\n";for(i = n1 ; i < n1 + n2; i++) cin >> Set[i];for(i = n1 ; i < n1 + n2; i++) cin >> Tree[Set[i]];//输入集合1和集合2中的一个元素，找出各自的根节点cout << "Please input two nodes of the two sets (and output its root node):\n";int sub1, sub2;cin >> sub1 >> sub2;cout << "It's root node is: " << findRoot(sub1) << "   " << findRoot(sub2) << endl;//合并集合1和集合2，并显示cout << "Merge two trees:\n";Tree[findRoot1(sub2)] = findRoot1(sub1);for(i = 0; i < n1 + n2; i++) cout << setw(2) <<Set[i];cout << endl;for(i = 0; i < n1 + n2; i++) cout << setw(2) << Tree[Set[i]];cout << endl;cout << "Please input the number of set1 and the number of set2:\n";}}

        程序运行结果如下：

        例2：畅通工程

/****输入城镇数n和道路数m，再输入每条道路连通的城镇(城镇从1开始编号)，看至少需再修几条路使全部城镇连通;若输入n且n=0结束输入***********//****初始化n个并查集，此后每输入一条道路，就将关联的两个城镇加入同一并查集，最后由独立的并查集个数-1即为所求答案*********************/#include <iostream>using namespace std;int Tree[1100];int findRoot(int x){if(Tree[x] == -1) return x;else{int tmp = findRoot(Tree[x]);Tree[x] = tmp;return tmp;}}int main(){int n, m;while(cin >> n && n!= 0){cin >> m;int i;for(i = 1; i <= n; i++)//初始化n个并查集Tree[i] = -1;int a, b;for(i = m; i >= 1; i--){//处理m条道路，合并并查集cin >> a >> b;a = findRoot(a);b = findRoot(b);if(a != b) Tree[b] = a; //此处必须先进行比较，如果a，b相同，则会使根节点不为-1，导致并查集总数变少}int count = 0;for(i = 1; i <= n; i++)//计算剩余独立的并查集if(Tree[i] == -1) ++count;cout << "Need to build the number of roads is: " << count - 1 << endl;}}

        程序运行结果如下：

        例3：More Is Better

/***有1000 0000个小朋友，随机选择朋友关系，每次选中两个人，且朋友关系具有传递性，当选择m次后，输出最大朋友关系人数或1**********************//***思路与畅通工程类似，初始化并查集，对每次选择进行并查集合并，由于需要计算最大并查集元素个数，需要初始化每个sum[i]=1，每次合并都进行累加即可**//***先输入关系次数m，再依次输入这m组关系****/#include <iostream>using namespace std;#define num 10000001int Tree[num];int Sum[num];int findRoot(int x){if(Tree[x] == -1) return x;else{int tmp = findRoot(Tree[x]);Tree[x] = tmp;return tmp;}}int main(){int m;while(cin >> m && m != 0){int i;for(i = 1; i < num; i++) {Tree[i] = -1; Sum[i] = 1;}int a, b;while(m--){cin >> a >> b;a = findRoot(a);b = findRoot(b);if(a != b) {Tree[b] = a; Sum[a] += Sum[b];}}int max = 1;for(i = 1; i < num; i++)if(Sum[i] > max) max = Sum[i];cout << "Maximum number of friends is: " << max << endl;}return 0;}

        程序运行结果如下：