Hard-题目12：115. Distinct Subsequences

题目原文：
Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, “ACE” is a subsequence of “ABCDE” while “AEC” is not).

Here is an example:
S = “rabbbit”, T = “rabbit”

Return 3.
题目大意：
给出一个字符串s和t，其中t是s的子串，求出删除s中字符得到t的不同删除方法。（或者理解为从s中取出t的不同取法。）
例如S=”rabbbit”,T=”rabbit”
其中S中的3个b取出两个得到T，有C(3,2)=3种取法，返回3.
题目分析：
因为可以看做是S中部分串取出得到T中部分串的子问题，所以想到用dp。
构建dp数组，其中dp[i][j]表示s[0..i]取出t[0..j]字符的方法数。那么首先考虑初始化：
dp[0][0]显然等价于s[0]==t[0],而先初始化j=0的情况，因为这时只有一个字符，扫描s，只要s[i]==t[0]，则取出的方法数+1，否则不变（很好理解，因为多出的字符与t[0]不一样，这个多出的字符没有任何意义）。
接下来从j=1（2个字符）开始考虑转移方程：
如果s[i]==t[j],那么这个多出来的t[j]的来源有两种情况，一是取自s[i],那么只要从s[0…i-1]取出t[0…j-1]即可，二是不取s[i],那么相当于从s[0…i-1]取出t[0…j]，故这种情况下的转移方程为dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];如果s[i]!=t[j]，那么这个多出来的s[i]对取出t[0…j]没有任何贡献，还是要从s[0…i-1]中去寻找，故dp[i][j]=dp[i-1][j].剩下的就是对一些特殊的边界情况讨论。例如s.length<=t.length。
源码：（language：java）

public class Solution {    public int numDistinct(String s, String t) {        int slen = s.length(),tlen = t.length();        if(slen<tlen)            return 0;        else if(slen == tlen)            return s.equals(t)?1:0;        else {            int[][] dp = new int[slen][tlen];            dp[0][0] = s.charAt(0)==t.charAt(0)?1:0;            for(int i = 1;i<slen;i++) {                if(s.charAt(i)==t.charAt(0))                    dp[i][0] = dp[i-1][0]+1;                else                     dp[i][0] = dp[i-1][0];            }            for(int j = 1;j<tlen;j++) {                for(int i = j;i<slen;i++) {                    if(s.charAt(i) == t.charAt(j))                         dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1];                    else                         dp[i][j] = dp[i-1][j];                  }            }            return dp[slen-1][tlen-1];         }    }}

成绩：
16ms,beats 62.01%,众数20ms,14.82%
Cmershen的碎碎念：
这是一个非常典型的DP问题，而我一开始考虑复杂了，因为我是基于组合数公式C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)做的，还增加了对s[i]和t[j]是否存在的考虑，但其实没有必要。因为如果t[j]出现了s中没出现过的字符，自然前一项也为0了。