最小生成树_Prim

如何从一个带权图中抽出一棵生成树，使得边权值和最小，这棵生成树就叫做最小生成树。常见的求解最小生成树的算法有 Prim 算法和 Kruskal 算法。

我们先来学习 Prim 算法。首先我们定义带权图 G的顶点集合为 V，接着我们再定义最小生成树的顶点集合为 U，初始集合 U 为空。接着执行以下操作：

首先我们任选一个顶点 x，加入集合 U，并记录每个顶点到当前最小生成树的最短距离。

选择一个距离当前最小生成树最近的、且不属于集合 U 的顶点 v（如果有多个顶点 v，任选其一即可），将顶点 v 加入集合 U，并更新所有与顶点 v 相连的顶点到当前最小生成树的最短距离。

重复第二步操作，直至集合 U 等于集合 V。

最小生成树构造完毕，集合 U 记录了最小生成树的所有边。

分析算法过程，我们可以发现，Prim 算法的思想类似贪心策略，每次都会选择一条与当前最小生成树相连且边权值最小的点。Prim 算法的时间复杂度为 O(V^2)
​​ )，V 为图 GG 顶点总个数，如果加上堆优化的话，可以把时间复杂度降到 O(VlogV+E)，其中 E 为图 G 的总边数。Prim 算法一般应用于边较为稠密的图，也就是顶点较少、而边较多的图。

#include <iostream>#include <cstring>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;struct Edge {    int vertex, weight;};class Graph {private:    int n;    bool * visited;    vector<Edge> * edges;public:    int * dist;    Graph (int input_n) {        n = input_n;        edges = new vector<Edge>[n];        dist = new int[n];        visited = new bool[n];        memset(visited, false, n * sizeof(bool));        memset(dist, 0x3f, n * sizeof(int));    }    ~Graph() {        delete[] dist;        delete[] visited;        delete[] edges;    }    void insert(int x, int y, int weight) {        edges[x].push_back(Edge{y, weight});        edges[y].push_back(Edge{x, weight});    }    int prim(int v) {        int total_weight=0;        //dis用于标记每个顶点 距离生成树上所有顶点的最短距离        dist[v]=0;        for(int i=0;i<n;i++){            int min_dist=INF,min_vertex;            for(int j=0;j<n;j++){                if(!visited[j]&&dist[j]<min_dist){                    min_dist=dist[j];                    min_vertex=j;                }            }            total_weight+=min_dist;            visited[min_vertex]=1;            for(Edge &j:edges[min_vertex]){                if(!visited[j.vertex]&&j.weight<dist[j.vertex]){                       dist[j.vertex]=j.weight;                }            }        }        return total_weight;    }};int main() {    int n, m;    cin >> n >> m;    Graph g(n);    for (int i = 0; i < m; i++) {        int a, b, c;        cin >> a >> b >> c;        g.insert(a, b, c);    }    cout << g.prim(0) << endl;    return 0;}